если – вещественная и нечетная функция, т. е. , то


а если – чисто мнимая функция, т. е. . , то

Заметим что если – вещественнозначная функция, то интеграл Фурье можно записать также в виде


где

Пример 3. Найдем преобразование Фурье функции
(считая )




поскольку нам известно значение интеграла Дирихле

Рассмотренная в примере функция не является абсолютно интегрируемой на и её преобразование Фурье имеет разрывы. О том, что преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функций не имеет разрывов, говорит следующая

Лемма 1. Если функция локально интегрируема и абсолютно интегрируема на , то

её преобразование Фурье определено при любом значении

Напомним, что если – вещественно или комплекснозначная функция, определенная на открытом множестве , то функция называется локально интегрируемой на , если любая точка имеет окрестность , в которой функция интегрируема. В частности, если , условие локальной интегрируемости функции , очевидно, равносильно тому, что для любого отрезка .

Пример 4. Найдем преобразование Фурье функции :

Дифференцируя последний интеграл по параметру и интегрируя затем по частям, находим, что


или

Значит, , где – постоянная, которую, пользуясь интегралом Эйлера-Пуассона находим из соотношения

Итак, мы нашли, что , и одновременно показали, что , а .

Определение 4. Говорят, что функция , заданная в проколотой окрестности точки , удовлетворяет в точке условиям Дини, если

в точке существуют оба односторонних предела


оба интеграла


сходятся абсолютно.

Абсолютная сходимость интеграла означает абсолютную сходимость интеграла хоть при каком-нибудь значении .

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6