В математическом анализе и его приложениях широко распространены методы, связанные с использованием интегральных преобразований. Эти методы успешно применяются к решению дифференциальных и интегральных уравнений, изучению специальных функций, вычислению интегралов. Напомним следующее определение.

Определение. Интегральным оператором иди интегральным преобразованием принято называть оператор А, действующий на функции по закону

где – заданная функция, называемая ядром интегрального оператора, а множество, по которому происходит интегрирование и на котором считаются определенными подынтегральные функции. Поскольку – свободный параметр из некоторого множества , то есть функция на этом множестве .

Существенным преимуществом метода интегральных преобразований является возможность подготовки таблиц прямых и обратных преобразований различных функций, часто встречающихся в приложениях (см., например [1]). В настоящем пособии рассматриваются наиболее распространенные интегральные преобразования Фурье и Лапласа.

  I. Преобразования Фурье.

Определение 1. Функция

Называется преобразованием Фурье функции .

Интеграл здесь понимается в смысле главного значения


и считается что он существует.

Если – абсолютно интегрируемая на ℝ функция, то, поскольку при , для любой такой функции имеет смысл преобразование Фурье (1), причем интеграл (1) сходится абсолютно и равномерно по на всей прямой ℝ.

Определение 2. Если – преобразование Фурье функции
, то сопоставляемый интеграл

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?


понимаемый в смысле главного значения, называется интегралом Фурье функции .

  Пример 1. Найти преобразование Фурье функции

Заданная функция абсолютно интегрируема на , действительно,

Так как

То

Определение 3. Понимаемые в смысле главного значения интегралы

Называются соответственно косинус - и синус-преобразованиями Фурье функции .

Полагая , , , получаем отчасти уже знакомое нам по рядам Фурье соотношение

Как видно из соотношений (3), (4),

Формулы (5), (6) показывают, что преобразования Фурье вполне определяются на всей прямой , если они известны лишь для неотрицательных значений аргумента.

  Пример 2. Найти косинус - и синус - преобразования Фурье функции

Как показано в примере 1, заданная функция абсолютно интегрируема на .

Найдем ее косинус - преобразование Фурье по формуле (3):

Аналогично, нетрудно найти синус – преобразование Фурье функции f(x) по формуле (4):

Используя примеры 1 и 2, нетрудно непосредственной подстановкой убедиться, что для  f(x) выполняется соотношение (5).

Если функция вещественнозначна, то из формул (5), (6) в этом случае следует

Поскольку в этом случае и – вещественные функции на R, что видно из их определений (3), (4). Впрочем, равенство (7) при условии получается и непосредственно из определения (1) преобразования Фурье, если учесть, что знак сопряжения можно вносить под знак интеграла. Последние наблюдение позволяет заключить, что для любой функции справедливо равенство

Полезно также заметить, что если – вещественная и четная функция, т. е. , то


Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6