Методы в математическом анализе и его приложениях связанные с использованием интегральных преобразований (стр. 3 )

Достаточные условия представимости функции интегралом Фурье.

Теорема 1. Если абсолютно интегрируемая на и локально кусочно непрерывная функция удовлетворяет в точке условиям Дини, то её интеграл Фурье сходится в этой точке, причем к значению

, равному полусумме левого и правого пределов значений функции в этой точке.

Следствие 1. Если функция  непрерывна, имеет в каждой точке конечные односторонние производные и абсолютно интегрируемая на , то она представляется на своим интегралом Фурье

где преобразование Фурье функции .

Представление функции интегралом Фурье можно переписать в виде:

Замечание. Сформулированные в теореме 1 и следствии 1 условия на функцию являются достаточными, но не являются необходимыми для возможности такого представления.

Пример 5. Представить функцию интегралом Фурье, если

Данная функция является нечетной и непрерывной на ℝ, кроме точек , , .

В силу нечетности и вещественности функции имеем:

и из равенств (5) и (10) следует, что

В точках непрерывности функции имеем:

Но функция нечетная, поэтому

так как интеграл вычисляется в смысле главного значения.

Функция четная, поэтому

если , . При должно выполняться равенство

Полагая , отсюда находим

Если в последнем выражении для положить , то

Полагая здесь , найдем

Если функция вещественнозначная кусочно непрерывна на любом отрезке действительной прямой  абсолютно интегрируема на и имеет в каждой точке конечные односторонние производные тогда в точках непрерывности функции представляется в виде интеграла Фурье

а в точках разрыва функции левую часть равенства (1) следует заменить на

Если непрерывная, абсолютно интегрируемая на функция имеет в каждой точке конечные односторонние производные, то в случае, когда это функция является четной, справедливо равенство

где

а в случае, когда - нечетная функция, выполняется равенство

где

Пример 5’. Представить функцию интегралом Фурье, если: