Методы в математическом анализе и его приложениях связанные с использованием интегральных преобразований (стр. 4 )

Так как - непрерывная на четная функция, то, используя формулы (13.2), (13.2’), имеем

Обозначим символом понимаемый в смысле главного значения интеграл

Следствие 2. Для любой функции , удовлетворяющей условиям следствия 1, существуют все преобразования, , , и имеют место равенства

Имея ввиду эти соотношения, преобразование (14) часто называют обратным преобразование Фурье и вместо пишут , а сами равенства (15) называют формулой обращения преобразования Фурье.

Пример 6. Пусть и

тогда

Заметим, что если , то при любой функции

Возьмем теперь функцию . Тогда

Если же взять функцию  , являющуюся нечетным продолжением функции , на всю числовую ось, то

Используя теорему 1, получаем, что

Все интегралы здесь понимаются в смысле главного значения,

Отделяя в двух последних интегралах действительные и мнимые части, находим интегралы Лапласа

Определение . Функцию

будем называть нормированным преобразованием Фурье.

Определение . Если – нормированное преобразование Фурье функции , то сопоставляемый интеграл

будем называть нормированным интегралом Фурье функции .

Будем рассматривать нормированное преобразование Фурье (16).

Введем для удобства следующие обозначения:

  (т. е. ).

В сравнении с прежними обозначениями это всего лишь перенормировка: Значит, в частности, соотношения (15) позволяют заключить, что

или, в более короткой записи,

Определение 5. Оператор мы будем называть нормированным преобразованием Фурье, а оператор будем называть обратным нормированным преобразованием Фурье.

В лемме 1 отмечалось, что преобразование Фурье любой абсолютно интегрируемой на функции стремится на бесконечности к нулю. В следующих двух утверждениях констатируется, что, подобно коэффициентам Фурье, преобразование Фурье тем быстрее стремится к нулю, чем глаже функция, от которой оно берется ( в первом утверждении); взаимный с этим факт будет состоять в том, что чем быстрее стремится к нулю функция, от которой берется преобразование Фурье, тем глаже ее преобразование Фурье (второе утверждение).

Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания её преобразования Фурье). Если и все функции абсолютно интегрируема на , то:

а) при любом

б)

Утверждение 2 (о связи скорости убывания функции и гладкости её преобразования Фурье).Если локально интегрируемая функция : такова, что функция абсолютно интегрируема на , то: