Методы в математическом анализе и его приложениях связанные с использованием интегральных преобразований (стр. 5 )

а) преобразование Фурье функции принадлежит классу

б) имеет место неравенство

Приведем основные аппаратные свойства преобразования Фурье.

Лемма 2. Пусть для функций и существует преобразование Фурье ( соответственно, обратное преобразование Фурье), тогда, каковы бы ни были числа и , существует преобразование Фурье ( соответственно, обратное преобразование Фурье ) и для функции , причем

(соответственно ).

Это свойство называется линейностью преобразования Фурье, (соответственно обратного преобразования Фурье).

Следствие..

Лемма 3. Преобразование Фурье, так же как и обратное преобразование, является взаимно однозначным преобразованием на множестве непрерывных абсолютно интегрируемых на всей оси функций, имеющих в каждой точке односторонние производные.

Это означает, что если и – две функции указанного типа и если (соответственно, если ), то на всей оси.

Из утверждения леммы 1 можно получить следующую лемму.

Лемма 4. Если последовательность абсолютно интегрируемых функций и абсолютно интегрируемая функция таковы, что

то последовательность равномерно на всей оси сходится к функции .

Займемся теперь изучением преобразования Фурье сверток двух функций. Для удобства видоизменим определение свертки , добавив дополнительный множитель

Теорема 2. Пусть функции и ограничены, непрерывны и абсолютно интегрируемы на вещественно оси, тогда

т. е. преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье этих функций.

Составим сводную таблицу №1 свойств нормированного преобразования Фурье, полезных при решении задач приведенных ниже.

Таблица №1

Функция	Нормированное преобразование Фурье

Используя свойства 1-4 и 6, получаем

Пример 7. Найти нормированное преобразование Фурье функции

В примере 4 было показано, что

так как, если

По этому по свойству 3 имеем:

Аналогично, можно составить таблицу №2 для нормированного обратного преобразования Фурье:

Таблица №2

Функция	Нормированное обратное преобразование Фурье

Так же как и ранее, используя свойства 1- 4 и 6 получаем что