Математика: наука (стр. 2 )

4. Цитирования. Часто встречается странная форма ссылки: «Это открыл х (в статье [у]), см. также [г]». Для себя я перевожу эту зашифрованную фразу в её исходную форму, которую автор захотел почему-то скрыть: «Это открыл автор w статьи z, но я узнал его результат из статьи у моего друга х».

Такие дезориентирующие читателя ссылки, как «см. также» выше, совершенно аморальны.

Мои иностранные коллеги объяснили мне, что в наш век «все» ссылаются не на первооткрывателей (вроде Колумба), а на того, кто последним использовал нужный факт (как это было когда-то с Америго Веспуччи).

Этот обычай социально значим: он поощряет многочисленных эпигонов быстро публиковать свои маловажные работы (чего тре­буют и учёные советы, где защищаются диссертации). Именно из-за этого публикуется в сотни раз больше статей, чем надо.

Я не стану приводить (слишком многочисленные) примеры, так, как опасаюсь за свою жизнь. «Подкова Смейла» была опубликована Литтлвудом и Картрайт десятками лет раньше замечательной работы не процитировавшего их Смейла.

  Настоящая работа состоит из Введения и одиннадцати параграфов, в которых представлены различные темы и направления, в разработке которых в той или иной мере принимали участие автор, его ученики и коллеги.

Автор от на его семинаре в Математическом институте им. АН СССР вынес положение «Надо решать задачи, а не доказывать теоремы, которое я могу доказать по десять в день» (которое потом было оформлено как завещание в форме «Теорема – ничто, задача - все» (см. [8, стр. 356])).

Чтобы быть объективным, что называется, «до конца», от автор также слышал «Слишком точно ставить задачу – ошибка молодости», что созвучно высказыванию «В каждый данный момент существует лишь тонкий слой между тривиальным и недоступным. В этом слое и делаются математические открытия.

Заказная прикладная задача поэтому в большинстве случаев или решается тривиально, или вообще не решается… Другое дело, если приложения подбираются (или подгоняются!) под интересующий данного математика новый математический аппарат…» в его дневнике [9, стр.52], что автор для себя воспринял как математическое откровение: четко поставленные задачи не всегда поддаются решению в заявленной редакции.

Конечно, все сказанное нашло отражение в исполнении данного Обзора, - большое внимание уделяется обоснованию постановок задач, комментариям полученных результатов и их возможным продолжениям.

Как известно, Лев Ландау всегда стремился, по его же словам, «тривиализировать проблему».

       В той же книге  [7, стр. 161-167] по теме «Преподавание математики по Ландау» с эпиграфом «Меня интересует, - говорил Ландау своим ученикам, - сумеет ли человек проинтегрировать уравнение. Математическая же лирика интереса не представляет (см. [10, стр. 34])» читаем « отличался необыкновенной способностью, как он сам говорил, «тривиализовать проблему». Тривиализовать означает здесь найти наиболее простой способ объяснения, не отступая от истины. Он был врагом всякой туманности, многозначности, часто скрывающей некомпетентность, умение или нежелание поискать более простых объяснений. Иллюстрацией может послужить удивительный ответ, который  Ландау однажды дал на вопрос студента о том, является ли электрон корпускулой или волной: «Электрон – не корпускула и не волна. С моей точки зрения, он – уравнение, в том смысле, что лучше всего его свойства описываются уравнением квантовой механики, и прибегать к другим моделям – корпускулярной или волновой – нет никакой необходимости».

       По – видимому, определение «Электрон – это уравнение», как это правильно описывается там же «сбалансированное физическое соотношение фундаментальных характеристик электрона в данных условиях: его энергии, импульса, заряда, спина, которое проверяется на опыте», правда с иными выводами, все-же больше говорит об отношении Ландау к математике, нежели  как это можно понять из приведенного эпиграфа.

  Ответ (или ответы) на поставленную задачу в математике оформляется в виде теорем, которые бывают различного качества.

Приведем рассуждения Г. Харди по этому вопросу [11, стр. 80-81]:

«Под серьезной» принято понимать теорему, содержащую «значительные» идеи.

Два качества играют существенную роль: общность и глубина идеи, но ни одно из них не поддается определению легко и просто.

Значительная математическая идея, серьезная математическая теорема должна обладать «общностью» в каком-то следующем смысле. Идея должна быть составляющей частью многих математических конструкций, используемых в доказательствах многих теорем различного рода. Теорема должна быть такой, что даже если первоначально она сформулирована в весьма частном виде (как теорема Пифагора), она должна допускать существенное обобщение и быть типичной для целого класса теорем аналогичного рода. Отношения, выявляемые в ходе ее доказательства, должны связывать многие различные математические идеи. Все это очень смутно и требует многочисленных уточнений. Но, как нетрудно видеть, теорема вряд ли может претендовать на роль серьезной теоремы, если в ней явно недостаточно этих свойств».

В  данном Обзоре также хотели показать примеры «тривиализации проблемы», «серьезности теорем» и «значительности идеи», разумеется, «… на почтительном расстоянии», когда доказательства изначальных идей исследований, как скромных, так и очень скромных, могут занимать соответственно 20, 16 и 7 строк (не страниц!).

Так, в статье [12] новый логарифмический эффект в пространствах Лоренца в "близком" случае, который мой Учитель оценил как основной и достаточный, но с близлежащими дополнениями для «массы», результат докторской диссертации, и из-за того, что оставил эту тему, с небольшим перерывом после защиты по другой теме, журил меня всю жизнь, и который с тех пор в различных вариациях составляет тему исследований ряда авторов, занимает 20 строк (см. здесь п.3  §10).

Идея применения теории дивизоров в вопросах квадратур 1988 года в статье

[13] занимает 16 строк доказательного текста (см. здесь п.1 §3).

Доказательство общего равенства 2002 года, составляющего основу "метода Смоляка", в статье [14] занимает 7 строк (см. здесь п.2 §3).

  Разумеется, автор при написании данного обзора старался, по мере возможности, придерживаться сформулированных выше общих принципов. Однако, с большим сожалением недостаточно полно или же вовсе не упомянуты многие исследования по каждой из тематик, поскольку  это уже жанр тематической обзорной статьи, каковой данная (по замыслу) не является.

Представленные здесь исследования вместе с сформулированными задачами могут служить темами курсовых и дипломных работ, магистерских  и Ph. D. диссертаций по математике и информатике.

Здесь хотелось бы обратить внимание на следующее.

В математических исследованиях, разумеется, основная роль принадлежит обоснованию постановки задачи, но, одновременно, как это показано (во всяком случае, такая цель всегда не упускалась из виду) в наших Обзорах, не меньшее значение имеет и содержательность (если угодно, и красота) ответа – формулировки соответствующих теорем как иллюстративных результатов.

В связи с проблемой выбора темы исследования приведем отрывок из Предисловия к книге [15]:

«Москва давно славится своими математическими семинарами. Обычно в начале семестра я формулирую десяток-другой задач. Анализ последующего показывает, что среднее время полураспада задачи (после которого она обычно более или менее решена) — порядка семи лет.

, один из моих учителей в математике, учил меня,  самое главное, что ученик должен узнать от учителя — это что некоторый вопрос еще не решен. Дальнейший выбор вопроса из нерешенных — дело самого ученика. Выбирать за него задачу — всё равно,  что выбирать сыну невесту» с эпиграфом:  «Мир держится на детях, которые учатся.  Роже Пейрефит».

Наверное, нелишне также иметь ввиду, что, по мнению Г. Харди [11, стр. 64]:

«Если  интеллектуальное любопытство, профессиональная гордость и амбиция – доминирующие побудительные мотивы исследования, то, несомненно, ни у кого нет лучших шансов удовлетворить им, чем у математика. Предмет его исследований – прелюбопытнейший;  нет ни одного другого предмета, в которых истина откалывала бы самые причудливые штуки. Математика обладает разработанным до тончайших деталей увлекательнейшим аппаратом исследований и оставляет беспрецедентный простор для проявления высокого профессионального мастерства. Наконец, как неоднократно доказывает история, математическое достижение, какова бы ни была его внутренняя ценность, обладает наибольшей «долговечностью» по сравнению с достижениями всех других наук. Мы можем убедиться в этом даже на примере пполуисторических цивилизаций. Вавилонская и ассирийская цивилизации пали; Хаммурапи,  Саргон и Навуходоносор - ныне пустые имена, тем не менее вавилонская математика и поныне представляет интерес, а вавилонская шестидесятеричная система счисления все еще применяется в астро­номии. Но самым убедительным примером служит, конечно, Древняя Греция.

Древние греки были первыми математиками, чьи результаты актуальны для нас и поныне…. Древние греки впервые_заговорили на языке. который понятен со­временному математику…. Поэтому древнегреческая математика сохранила «непреходя­щее» значение — более непреходящее, чем даже древнегре­ческая литература. Архимеда будут помнить, даже когда  забудут Эсхила  потому, что языки умирают, тогда как математические идеи бессмертны. Возможно, «бессмертны» — глупое слово, но, вероятно, математик имеет лучший шанс, на бессмертие, что бы оно ни означало. 

Математику нет необходимости всерьез опасаться, что будущее будет несправедливо по отношению к нему…. Да­же в  математике_история иногда выкидывает странные трю­ки: Ролль  фигурирует во всех учебниках математического анализа, как если бы он был математиком того же ранга, как и Ньютон».

Завершим наши обширные цитирования следующими советами :  «Надо пытаться решать важные задачи, не считаясь с их трудностью. Их решения навсегда войдут в историю науки и принесут  людям большую пользу. Так поступали наши великие предшественники. Не следует увлекаться решением легких и малонужных задач только потому, что они не требуют больших усилий. Учёные, которые это делают, могут увлечь на тот же неправильный путь и своих учеников. Выбрав достойную тему, следует наметить план работы и не оставлять его, пока теплится хоть малейшая надежда на успех