Математика: наука (стр. 6 )

         Как оказалось, такого сорта меры ранее введены С. Банахом, техническую часть построения берет на себя теорема Колмогорова о меровведении на бесконечномерных пространствах.

         В статье дана конкретизация построения мер на указанных выше -классах и их применения в вопросах квадратур.

         Другим, и, быть может, в смысле новизны более важным, является определение поперечника  Колмогорова «в среднем»:

.

         Исследования этого поперечника впоследствии производились  в ряде статей (см., напр, Creutzig J., Dereich S., Mьller-Gronbach T., Ritter K. Infinite-Dimensional Quadrature and Approximation of Distributions // Found Comput Math (2009) 9: 391 - 429)

13. Об одном примере из теории меры

(Доклады расшир. засед. семинара Института прикл. математики им. , 1985, т.1, №2, Тбилиси, стр. 140-143) ………………………………………………………………………………………….…….........................109

         В 1985 году, в один из приездов в Алматы, поставил вопрос о «гибкости» погрешностей вычислительных агрегатов «в среднем», - каков диапозон их изменения при различном выборе вероятностей меры.

         В статье на примере одномерного класса Коробова показана «абсолютная гибкость» относительно вероятностного меровведения: погрешности могут убывать с любой наперед заданной скоростью.

14. Об одном приложении меры Банаха к квадратурным формулам

(Матем. заметки, 1986, т. 39, №1, стр. 52-59 (совм. с )) …………………………………...……112

Application of Banach measure to quadrature formulas

(Mat. zametki, 1986, Vol.39, No.1, pp.30-34)………………………………………………………………………....119

         Найдены среднеквадратические погрешности детерминированных квадратурных формул и метода Монте-Карло относительно меры Банаха.

15. Об одном подходе к оценке качества интегрирования методом Монте-Карло

  (Изв. АН КазССР, сер. физ.-матем.,1987, №1, стр. 16-20 (совм. с )) …………………………..123

         Для метода Монте-Карло определена вероятностная характеристика качества численного интегрирования, позволяющая в одних и тех же  терминах сравнивать ее (метода Монте-Карло) эффективность с неслучайными алгоритмическими методами.

16. О вычислении экстремума функционала

(Изв. АН КазССР, сер. физ.-матем., 1987, №3, стр. 23-26 (совм. с ))…………….....……….....127

         На основе введения борелевской меры на функциональном компакте предложен метод приближенного вычисления на том же компакте максимума модуля непрерывного функционала.

17. On an application of infinitely divisible distributions to qudrature problems

(Analysis Mathematica 14, 1988, №3,  рр. 253-258)……………………………….………………………................130

         Найдены среднеквадратические погрешности детерминированных квадратурных формул и метода Монте-Карло относительно мер, определенных безгранично делимыми распределениями.

18. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел

(Матем. заметки, 1989, т. 46, №2, стр. 34-41 (совм. с ))  ……………………………..........….135

Quadrature formulas associated with divisors of the field of Gaussian numbers 

(Mat. zametki, 1989, Vol.46, No2, pp.597-602)………….……………………...……………………….............…….143

         Предложен способ построения квадратурных формул, основанный на теории дивизоров поля гауссовых чисел.

19. Применение теории дивизоров к приближенным восстановлению и интегрированию периодических функций многих переменных

  (Докл. АН СССР, 1990, т. 310, №5, стр.1050-1054).………………………………………………………………..149

       Соответственно анонсировано  и даны доказательства  применения теории дивизоров в задачах численного интегрирования и восстановления функции.

         Дано в определенном смысле полное решение известной проблемы построения эффективных алгоритмов для нахождения сеток Коробова в квадратурных формулах с равными весами.

         Сочетание теоретико-вероятностного подхода к задаче численного интегрирования с теоретико-числовым методом построения квадратурных формул.

20. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических функций многих переменных

(Матем. сб., 1990, т. 281, №4, стр. 490-505)……………......................................................................................…..154

Application of divisor theory to the numerical integration of periodic functions of several variables  (Matem. sbornik, 1990, pp. 527-542)…………..…………….… ………………….…............................170

         Дано в определенном смысле полное решение известной проблемы построения эффективных алгоритмов для нахождения сеток Коробова в квадратурных формулах с равными весами.

         Сочетание теоретико-вероятностного подхода к задаче численного интегрирования с теоретико-числовым методом построения квадратурных формул.

21. Средние квадратические погрешности алгоритмов численного интегрирования, связанных с теорией дивизоров в круговых полях

(Изв. высш. учеб. завед. Математика, 1990, №8, стр. 90-93)………………...………………………………….....186

         Соответственно анонсировано  и даны доказательства  применения теории дивизоров в задачах численного интегрирования и восстановления функции.

22. Восстановление в среднем квадратическом относительно меры Банаха решений задачи Дирихле для уравнения Пуассона        

(Международ. Конф. "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвящ. 90-летию академика , Москва, 27 апреля-3 мая 1995 г., Тез. докл., стр. 269-270)………….……189

         В одном докладе соединены мера Банаха, уравнение Пуассона и алгебраическая теория чисел.

23. Об оптимальном восстановлении решений классических уравнений математической физики

(Тезисы докладов 1-Съезда математиков Казахстана (11-14 сентября 1996 г.), Шымкент, 1996,

стр. 151-152)..……………………………………………………………………………………………………….…191

         Первые результаты по теме «Компьютерного (вычислительного) поперечника», показывающие её содержательность.

24. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования, связанных с теорией дивизоров в круговых полях

(Матем. заметки, 1997, №2, стр. 297-301)………………………………………………….……..………………….192

Efficiency of Numerical Integration Algorithms Related to Divisor Theory in Cyclotomic Fields (Mat. notes, 1997, Vol. 61, No 2, pp. 242-245)………………………………………………….………..196

         Предложен способ построения квадратурных формул, основанный на теории дивизоров поля гауссовых чисел в круговых полях для функций производной и классов Никольского с доминирующей смешанной разностью.

25. О построении вероятностных мер на функциональных классах

(Труды Матем. инст. им. РАН, 1997, т. 218, стр. 397-402)……………………………………..…...200

On the Construction of  Probability Measures on  Functional Classes 

(Proceedings of the Steklov Institute of  Mathematics, 1997, Vol. 218, pp.396-401)……………………………….....206

       Представлен общий метод построения вероятностных мер на классах числовых последовательной. Даны их применения к классам Соболева, Никольского и Бесова.

26. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье (Вестник Евразийского университета,  1997, №3, стр.90-144)…………………………………......……212

         Реализация выдвинутой в статье «Қазаққа математика керек пе?» идеи (подробности во Введении), выполненной по результатам исследований нашей научной школы до 1997 года включительно (стр.5-210 настоящего сборника).

27. Классы   и квадратурные формулы

(Докл. РАН. 2003, т.393, №5, стр. 605-608.)................................................................................................................263

Classes and quadrature formulas

(Dockland  mathematics 2003,vol.68, no.3, pp.414-415). ............................................................................................. 267

         На основе результатов (1990г.) определены новые классы функций, представляющие классификацию функций в широком диапазоне от предельно малой гладкости через известные классы Коробова до аналитических и их подклассов.

         В качестве применения новой шкалы классов даны оценки погрешностей в них квадратурных формул Смоляка, полученных применением тензорных произведений функционалов.

28. Об информативной мощности линейных функционалов

(Матем. заметки, 2003, т.3, №.6, стр. 803-812. (совм. с Ш. Ажгалиевым))………………… ……………….....…271

Informativeness of Linear Functionals

(Mathematical Notes, Vol. 73, No 6, 2003, pp. 759-768.)………………………………….……………………….....281

         Показана действенность нового понятия  «Информативной мощности данного набора функционалов» в случае всех возможных линейных функционалов в задаче восстановления функций из классов Соболева, Никольского и Бесова. 

29. Тензорные произведения функционалов и их применения к задачам восстановления (Вестник Евразийского национального университета, 2003, №4, стр. 67-73)…….…………….………………....291

         От тензорных произведений классов функций (1962 г.) к тензорным произведениям функционалов.