Математика: наука (стр. 4 )

§5. Алгебраическая теория чисел и гармонический анализ в задачах численного интегрирования…………………..………………….……………………………………………..86

А. Квадратурные формулы

1. Постановка задачи численного интегрирования……...………..………………………………86

Уточнение постановок задачи (1-2)………………….…………………………..…………….88

В. Теоретико-числовые методы в задачах численного интегрирования. Введение.……………………………………..……………………………..………………………..89

Краткий обзор теоретико-числовых методов в численном интегрировании………………..90 Теоретико - числовые алгоритмы приближенного  интегрирования (случай 

  )……………………………………………………………………………...…………..92

Теоретико - числовые алгоритмы приближенного  интегрирования (случай 

  )………………………………………………………………………………..………94

Об эквивалентных условиях равномерной распределенности  сеток Коробова……………..95 Комментарии и замечания………………………………………………………………………..96 Построение равномерно распределенных сеток Коробова методом вычислительных экспериментов……………………………………………………………………...………………..97

С. Построение равномерно распределенных сеток Коробова методом вычислительных экспериментов…………………………………………………………………………..…………...98

D. Еще о теоретико-числовых  методах

1. Комбинированные теоретико-числовые сетки…………………………….……………..……106

Метод квази-Монте Карло (КМК)……………………….….………...………………………107

Е. Численное интегрирование бесконечно дифференцируемых функций (теорема Е. Нурмолдина)…………………………………………………….………………………………….107

Перспективы......................................................................................................................................109

§6. Применение тензорных произведений функционалов в задачах численного интегрирования……..………………………………………………………….…………………113

Введение………………………………………………………………………………..…………...113

Конкретизация общего метода тензорного произведения функционалов для случая квадратурных формул Смоляка………………………………...…………………………………116 Квадратурные формулы для классов …………………...…………………..…117 Квадратурные формулы для классов …………………...…………….………121 Неэффективность квадратурных формул Смоляка при повышении гладкости до

  бесконечной………………………………………………………...…………………..………122

К вопросу о влиянии начального параметра в квадратурной формуле Смоляка……….....123 О порядке дискрепанса сетки Смоляка…………………………………………………..….123 О качестве сеток в квадратурных формулах (задача Сарда)………………………...……...124 Численное интегрирование тригонометрических коэффициентов Фурье……….……….127 Применение тензорных произведений функционалов к квадратурным формулам

  Коробова (Н. Темиргалиев, Д. Кулбаева)…………………………………………..………....131

Оценки погрешностей квадратурных формул по неточной информации для

  классов и ……………………………………..……………..……………………..134

Тензорные произведения функционалов относительно систем Чебышева……...………...135 Дальнейшее развитие темы……………………………………………………..…………….135 

§7. Восстановление функций………………..…………………………………….………….…138

Задача восстановления функций из классов……………………………………………….…138 Эффективизация ранее известных теорем существования операторов восстановления функций……………………………………………………………………………………………..141 Информативная мощность всех возможных линейных функционалов при восстановлении функций из классов……………………………………………………………………………...…142 ерниязова (Применение квадратурных формул к восстановлению функций и преобразованных рядов Фурье)……………………………………...……………………………145 ерниязова о восстановлении преобразованных рядов Фурье по  значениям в точках суммы исходного ряда………………………………………..…………………………145 Восстановление функций и преобразованных рядов Фурье по значениям суммы исходного ряда……………………………………………………………………….……………………...…147 Восстановление функций из классов методом тензорных произведений функционалов……………………………………………………………...……………………….149  Операторы восстановления функций – перспективы дальнейших исследований……...…154 Восстановление преобразованных рядов Фурье по значениям суммы исходного ряда…………………………………………………………………………………...……………..154 Восстановление бесконечно дифференцируемых функций……………..…………………155

§8. Дискретизация решений уравнений в частных производных……….……..…………..159

Введение……………………………………………………..……………………………………...159

Дискретизация решений уравнения теплопроводности (теоремы К. Шерниязова, 

  Ш. Ажгалиева, Е. Нурмолдина)…………………………………………………………...……162

Дискретизация решений волнового уравнения………………………………………………165  Дискретизация решений уравнения Пуассона…………………………...…………………..168 Дискретизация решений уравнения Клейна-Гордона…………...…………………………..171 Дискретизация решений уравнения Лапласа…………...……………………………………173 Информативная мощность всевозможных линейных функционалов при дискретизации решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа…………….……..…………………………..174 Дискретизация решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа в бесконечной полосе и в прямоугольнике………………………………………………………………..…………………...175

§9. Теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа…………………………………..179

Теоретико-функциональный и теоретико-вероятностный подходы к задачам Анализа……………………………………………………………………………………...……...179 Средние относительно вероятностных мер на функциональных классах погрешности операторов восстановления………………………………………………….…………………….180 Средние погрешности метода интегрирования Монте-Карло………………………………180 Построение вероятностных мер на классах функций………………...……………………..181 Одно замечание относительно теоретико-функциональных и теоретико-вероятностных постановок задач……………………………………………………………...……………………184 Средние погрешности детерминированных квадратурных формул………………………..185 Средние погрешности методов интегрирования Монте-Карло………………...…………..186 Дискретизация решений уравнений в частных производных в среднем………...………...187 Поперечники  в среднем……………………………………………………..………………..188 Применение вероятностных мер к задаче вычисления экстремума функционала………...189 Дискретизация в среднем квадратичном относительно вероятностных мер решений уравнения Клейна – Гордона……………………………………………………...……................190 Средние квадратические  погрешности дискретизации решений уравнения Лапласа……192

Перспективы…………………………………………………………………...………………...…194

§10.  Теория вложений и приближений………………….…………………………..………...198

1. Прямые и обратные задачи теории приближений (в одной метрике)…………...…………..198

2. Теоремы вложения (вокруг подхода  )………………………..………………199

3. Критерий вложения классов в пространство Лоренца …………..……………..209

4. Методы гармонического анализа ………………………………………………..……………213

5. Прямые и обратные задачи теории приближений (в разных метриках)………..………..…214

6. Новые задачи об аппроксимативных возможностях полиномов по ортогональным системам с произвольным спектром ………………………………………………..……………………...217

7. ихова об оптимальном приближении функций из классов в зависимости от спектра приближающих тригонометрических многочленов (с комментариями)………..…...218

8. Классы типа Морри (иллюстративный результат – теорема о вложении классов Соболева-Морри в )……………………………………………………….……...225

9. Модули непрерывности переменного приращения и теоремы вложения (К. Сулейменов, Н. Темиргалиев) ………………………………………………………………………………………228

§11. Ряды Фурье……………..…………………………………………………….……………...236

1. Преобразования коэффициентов рядов Фурье………………………………………………...236

2. Абсолютная сходимость рядов Фурье…………………………………...…………………….237

3. Критерии интегрируемости высших производных…………………………...………………239

4. Суммирование рядов Фурье…………………………………………………………………….240

КАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

атындағы Еуразия ұлттық университеті

Н. Темірғалиев

ТАҢДАМАЛЫ. ҒЫЛЫМ

Н. Темиргалиев

ИЗБРАННОЕ. НАУКА

N. Temirgaliyev

SELECTED PUBLICATIONS. SCIENCE

АСТАНА

2009

Предисловие

Евразийский национальный университет им. принял решение об издании избранных научных трудов крупного казахского математика, профессора Нурлана Темиргалиева. Профессор Темиргалиев - сам возглавляющий сегодня научную школу, активно работающую в Казахстане – воспитанник московской школы метрической теории функций, созданной выдающимися русскими учеными и . Для всех участников этой школы настоящее издание - знаменательное событие. Читатели получают возможность оценить итоги исследований, о которых Н. Темиргалиев рассказывал нам на протяжении более чем тридцати лет. И самое главное, что тематика этих исследований полностью сохраняет свою актуальность, а, значит, книга представляет интерес для широкого круга читателей. В статьях, включенных в настоящее издание, центральными являются две крупные темы:

Исследование классов функций многих переменных и, в частности, теорем вложения;

Квадратурные формулы, вопросы численного интегрирования и приближенного восстановления функций по дискретным данным.

Исследование теорем вложения для классов функций многих переменных было начато Н. Темиргалиевым в аспирантские годы, как продолжение исследований его учителя академика (1928-2006), посвященных классам функций одной переменной. Уже в работах основателей теории вложения функциональных классов и было выяснено, что многомерный случай требует развития новых, по сравнению с одномерным случаем, методов, что проявилось и в исследованиях Н. Темиргалиева.