Методические указания к выполнению самостоятельной работы по эконометрике в среде Mathcad, Сызрань, 2011 (стр. 5 )

где – гамма-функция; a – основное ее свойство.

Случайная величина , где – случайная величина, распределенная по нормальному закону , а – случайная величина, распределенная по закону Пирсона, будет распределена по закону Стьюдента с степенями свободы. Ее плотность распределения задается формулой

.                311732

Можно отметить, что распределения и Стьюдента стремятся к нормальному распределению при .

Если закон распределения случайной величины неизвестен, то его можно приближенно определить (оценить) опытным путем. С этой целью над величиной проводят ряд независимых испытаний (измерений). Вся мыслимая (бесконечная) совокупность этих измерений называется генеральной совокупностью, а каждый конкретный ряд измерений называют простой случайной выборкой.

Если повторить измерения той же случайной величины , то в силу наличия случайных ошибок мы получим несколько другие значения . Поэтому сами измерения нужно рассматривать как случайные величины, распределенные по одному и тому же закону, совпадающему с законом распределения случайной величины . Функцию распределения случайной величины называют функцией распределения генеральной совокупности.

Если простую выборку упорядочить по возрастанию, то ее называют вариационным рядом. Если для каждого неповторяющегося элемента вариационного ряда указать относительную частоту его появления , то такой вариационный ряд называют статистическим рядом распределения случайной величины . Здесь – число повторений (абсолютная частота появления элемента), а – общее число измерений, или объем выборки. Имея вариационный ряд, легко построить эмпирическую (статистическую) функцию распределения

.                                331834

Здесь – число членов вариационного ряда, лежащих левее от , а – частота попадания выборочного значения левее ; – ступенчатая неубывающая функция, заданная на всей числовой оси, со скачками в точках . Величина скачка равна частоте . Поскольку сумма абсолютных частот , то сумма относительных частот . Можно доказать, что при . Отсюда ясно, что эмпирическую функцию распределения можно использовать как оценку теоретической функции распределения . Последовательность случайных величин называют сходящейся к по вероятности (пишут ), если для всякого .

При большом объеме выборки вычисления становятся громоздкими и, с целью упрощения вычислений, элементы выборки объединяют в группы (разряды). Для этого интервал, содержащий все множество элементов выборки, разбивают на непересекающихся интервалов. При этом правый конец каждого интервала исключают из соответствующего множества, а левый включают. Ради простоты интервалы обычно выбирают одинаковой длины , где – размах выборки. Если – число элементов выборки в -м разряде, то – его частота. Совокупность разрядов или их середин и соответствующих частот называют группированным статистическим рядом. Геометрически его изображают в виде группированной статистической функции распределения или в виде гистограммы. Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладывают интервалы и над каждым интервалом, как на основании, строят прямоугольник, высота которого равна значению плотности распределения для данного интервала . Таким образом, площадь каждого прямоугольника гистограммы равна его частоте, а общая площадь равна единице.

С увеличением объема выборки и уменьшением длины интервала гистограмма будет стремиться к кривой плотности распределения , поэтому гистограмму используют в качестве оценки для плотности распределения.

Построенные ступенчатые функции (статистическая функция
распределения и гистограмма) являются непараметрическими оценками функции и плотности распределения. Чтобы получить приближенные аналитические выражения для этих функций, их сглаживают. Для этого предполагают, что вид функции известен, но не известны параметры, входящие в функции. Таким образом, задача сводится к нахождению параметров. Это уже параметрический способ оценки закона распределения. Существуют различные методы оценки неизвестных параметров. В данной работе мы воспользуемся методом наименьших квадратов (см. работу 1).

Следующие примеры демонстрирют методы оценки функции и плотности распределений. В первой части примеров показана обработки выборки небольшого объема. Элементы выборки задаются вручную. Затем получается вариационный ряд для введенной выборки.

Далее рассматривается анализ выборки большой объем. Для получения значений непрерывной случайной величины с заданной функцией распределения применяется метод обратных функций.

Идею метода обратных функций можно пояснить с помощью рис. 2.1. Пусть дана непрерывная случайная величина , имеющая функцию распределения . Так как , то величину можно рассматривать как случайную величину, равномерно распределенную на отрезке (см. рис. 2.1). Зафиксируем некоторое значение , тогда ему будет соответствовать значение , где – функция, обратная . Величина будет распределена по закону, определяемому функцией . Таким образом, для получения значений случайной величины, распределенной по заданному закону, необходимо найти функцию, обратную , и получаемые равномерно распределенные случайные числа пересчитывать с помощью обратной функции . Например, для показательного закона распределения с пересчет выполняется с помощью обратной функции по формуле (или).