Методические указания к выполнению самостоятельной работы по эконометрике в среде Mathcad, Сызрань, 2011 (стр. 8 )

.        522853

Пусть – дискретная случайная величина, закон распределения которой зависит от неизвестного параметра . Будем рассматривать выборку как реализацию того, что случайная величина приняла последовательно значения . Вероятность этого равна произведению вероятностей. Следовательно, функция правдоподобия будет

.                        54 2955

Например, для дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона

,                563057

функция правдоподобия согласно (3.9) может быть записана в виде

.                58 3159

Здесь – целые неотрицательные числа. Однако при больших вычисления по формуле (3.11) могут приводить к переполнениям разрядной сетки.

Получение оценок параметров иллюстрируется примером 3.

В данном примере создается выборка случайных чисел с нормальным законом распределения при заданных параметрах и .

По полученной выборке вычисляются первый начальный момент и второй центральный момент, которые могут служить состоятельными несмещенными оценками математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Следующий раздел примеров показывает, как оценки этих параметров могут быть получены по методу максимального правдоподобия. Для этого вводятся функции правдоподобия и определяются их экстремумы. В примере приводятся графики функций правдоподобия.

В примере также иллюстрируется использования метода наибольшего правдоподобия к оценке параметров дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона. Находятся оценки параметра по методу моментов и по методу максимального правдоподобия.

Пример 3 (Mathcad)

                                       

       

                

       

               

                               

               

               

                                       

       

       

                               

Задание

Изучив теоретическое введение и примеры, разработать собственный документ, решающий следующие задачи:

получение выборки случайных чисел заданного объема с нормальным законом распределения (непрерывная случайная величина); получение оценок параметров и по методу моментов; получение оценки параметров и по методу максимального правдоподобия; получение выборки случайных чисел заданного объема с распределением по закону Пуассона с заданным параметром (дискретная случайная величина); получение оценок параметра закона Пуассона по методу максимального правдоподобия и по методу моментов.

Расчитать по двум документам для объемов выборок 10, 50 и 100.

Сравнить полученные результаты с теоретическими и сделать выводы о правильности проделанной работы.

Записать функцию правдоподобия для закона Коши:

.

Можно ли оценить параметр по методу наибольшего правдоподобия?

Контрольные вопросы

Назовите выборочные числовые характеристики. Что такоеэконометрики и для чего они служат? Какими свойствами должны обладать оценки? Приведите примеры состоятельной, несмещенной и эффективной оценок. Что такое функция правдоподобия? В чем сущность метода наибольшего правдоподобия? Пусть – выборка из генеральной совокупности с известным средним и неизвестной дисперсией . Показать, что несмещённой оценкой для будетэконометрика (Задача № 2.13 гл.15 [2]). Решить задачи № 2.14, 2.21, 2.32-2.35 гл. 15 [2]. 6032Интервальные оценки числовых характеристик

В предыдущей работе были рассмотрены методы, дающие оценку параметра в виде некоторого числа или точки на числовой оси. Такие оценки называют точечными. Точечная оценка без указания степени точности и надежности не имеет практического значения, так как представляет собой только возможное значение случайной величины, т. е. сама точечная оценка является величиной случайной. Можно доказать, что в выборке объема из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону среднее выборочное распределено также по нормальному закону . Величина распределена по закону с степенями свободы, а – по закону Стьюдента с степенью свободы.