Методические указания к выполнению самостоятельной работы по эконометрике в среде Mathcad, Сызрань, 2011 (стр. 1 )

519.2(07) M545

Министерство образования Российской Федерации Самарский государственный технический университет

Методические указания к выполнению самостоятельной работы по эконометрике в среде MATHCAD

Сызрань 2011

УДК 519.22(07.07)

Составитель:

Методические указания к выполнению самостоятельной работы по эконометрике в среде MATHCAD.

Самара: Изд-во СамГТУ, 2011, 46 с.

Методические указания предназначены для студентов, изучающих общую теориюэконометрики. Целью работы является обучение студентов решению статистических задач с использованием математического пакета Mathcad. Указания содержат теоретические сведения, необходимые при подготовке к лабораторным работам, варианты заданий и контрольные вопросы для самопроверки, а также, примеры решения задач с помощью указанного пакета.

Табл. 3. Библиогр.: 3 назв.

Рецензент:  ……………. СамГТУ.

Введение

Статистические расчеты без помощи ЭВМ являются сложными и требуют применения многочисленных таблиц функций и квантилей стандартных распределений. Поэтому они не дают возможности почувствовать элемент новизны в изучаемом материале, изменять произвольно условия задач и т. д. Специализированные математические пакеты не могут использоваться для обучения, т. к. их использование требует достаточно высокого уровня подготовки в эконометрике. Поэтому в данных указаниях предлагается использовать универсальный математический пакет Mathcad  Professional.

Весь материал разбит на шесть лабораторных работ. На каждом занятии студент получает индивидуальное задание, которое выполняет самостоятельно под руководством преподавателя. В конце каждой лабораторной работы приведены варианты заданий, контрольные вопросы и примеры, демонстрирующие способы решения поставленных задач с помощью математических пакетов.

Таким образом, методические указания позволяют, во-первых, интенсифицировать практическую составляющую обученияэконометрике и, во-вторых, обучить студентов навыкам использования универсального математического пакета Mathcad.

Методические указания могут также быть использованы для проведения практики по теории вероятностей иэконометрике параллельно – первую на практических занятиях, а вторую на лабораторных, поскольку применение математического  пакета значительно сократит время на решение задачэконометрики. С этой целью в указаниях приводятся необходимые теоретические сведения по эконометрике.

11Метод наименьших квадратов

Пусть на вход некоторого устройства подается сигнал , а на выходе измеряется сигнал . Известно, что величины и связаны функциональной зависимостью, но какой именно – неизвестно. Требуется приближенно определить эту функциональную зависимость по опытным данными. Пусть в результате измерений получен ряд экспериментальных точек . Известно, что через точек можно всегда провести кривую, аналитически выражаемую многочленом -й степени. Этот многочлен называют интерполяционным. И вообще, замену функции на функцию так, что их значения совпадают в заданных точках

, ,                        223

называют интерполяцией.

Однако такое решение проблемы не является удовлетворительным, поскольку из-за случайных ошибок измерения и влияния на измерения значений помех и шумов в устройстве. Так что

                               435

где – некоторая случайная ошибка. Поэтому требуется провести кривую так, чтобы она в наименьшей степени зависела от случайных ошибок. Эта задача называется сглаживанием (аппроксимацией) экспериментальной зависимости и часто решается методом наименьших квадратов. Сглаживающую кривую называют аппроксимирующей.

Задача аппроксимации решается следующим образом. В декартовой прямоугольной системе координат наносят точки . По расположению этих точек высказывается предположение о принадлежности искомой функции к определенному классу функций. Например, линейная функция , квадратичная и т. д. В общем случае . Неизвестные параметры функции определяются из требования минимума суммы квадратов случайных ошибок, т. е. минимума величины

.                6 47

Величина называется также суммарной невязкой. Необходимым условием минимума функции нескольких переменных является обращение в нуль частных производных невязки:

, .        8 59

Решая систему уравнений (1.4), находим неизвестные параметры и тем самым полностью определяем функцию, которая наилучшим образом (в смысле наименьших квадратов отклонений от исходных точек или наименьшей суммарной невязки) аппроксимирует (приближает) искомую функцию.

Остановимся подробнее на линейной зависимости .

Дифференцируя (1.3), получим следующую систему уравнений

                       10 611

Из первого уравнения находим , где

, .                        12713

Подставляя выражение для во второе уравнение, найдем

,                                14815

где

, .        16917

Таким образом,

               181019

есть искомая линейная функция.

Ввиду простоты расчетов аппроксимация линейной зависимости используется довольно часто. Кроме того, многие функции, зависящие от двух параметров, можно линеаризовать путем замены переменных.

Для этого необходимо подобрать такое преобразование исходной зависимости , в результате которого она приобретает линейный вид . Далее решается задача линейной аппроксимации для новой зависимости и вычисленные коэффициенты и пересчитываются в коэффициенты и .

Для ряда часто встречающихся двухпараметрических зависимостей возможные замены переменных (а также, обратные замены для пересчета и в и) приведены в табл. 1.1.