Рабочая программа учебной дисциплины «Линейная алгебра» по направлению подготовки 080100 Экономика, Москва, 2013 (стр. 5 )

 

где – любое действительное число.

       Таким образом, собственному значению соответствует собственный вектор .

       При :

  .

       Обозначим через и координаты собственного вектора , соответствующего собственному значению . Тогда:

  .

       Преобразуем матричное уравнение в систему уравнений

 

       Разделив второе уравнение на 3,  мы получим два одинаковых уравнения.

 

       Система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными, следовательно, она имеет множество решений. Принимая , находим .

       Таким образом, собственному значению соответствует собственный вектор  .

       3. Находим образ вектора :

,

       Следовательно,

       Ответ:  а)   при ;

                б)   при ;

                в)

       3. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1;4),  В(5;2) и С(-1;3).

Найти:

       1)  уравнение стороны АВ;

       2) длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.

       Решение.

       1) Т. К. нам известны координаты двух точек, через которые проходит прямая АВ, то для составления ее уравнения используем формулу , где , (координаты точки А) и , (координаты точки В).

                               

 

         

        2) Т. к. прямая АВ имеет угловой коэффициент  ,  то у высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, угловой коэффициент

       Для написания уравнения высоты воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

       Найдем координаты точки D пересечения прямой АВ и высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, для чего составим систему уравнений:

       Находим длину высоты  d (расстояние между точками C и  D):

       .

       Ответ:    .

III. Общетеоретическая часть

       Общетоеретическая часть экзаменационного билета включает в себя один теоретический вопрос из прведенного ниже перечня:

Общие понятия о матрицах. Общие понятия об определителях. Свойства определителей. Основные типы матриц. Основные операции над матрицами. Обратная матрица Ранг матрицы. Сравнительный анализ методов решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода Крамера решения системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Решение системы линейных алгебраических уравнений в матричной форме. Векторы на плоскости и в пространстве. Основные понятия. Действия с векторами. n-мерный вектор. Свойства операций над n-мерными векторами. Линейная независимость n-мерных векторов. Размерность и базис векторного пространства. Переход к новому базису. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости. Основные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Общий вид уравнения прямой. Каноническое уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Каноническое уравнение гиперболы. Каноническое уравнение параболы. Понятие квадратичной формы.  Матрица квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.

4. Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины

для студентов

При изучении темы “Матрицы и определители” необходимо обратить внимание на многообразие применения понятия матрицы в различных областях, в том числе в экономике, на основные приемы вычисления определителей любого порядка, а также выполнение действий с матрицами, осбенно нахождения обратной матрицы и вычисления ранга матрицы.

При изучении темы “Системы линейных алгебраических уравнений” особое внимание следует обратить на порядок исследования систем линейных алгебраических уравнений на основе теоремы Кронекера-Капелли, а также особенностям применения различных методов их решения.

       При изучении темы “Векторы на плоскости и в пространстве” особое внимание следует обратить на описание векторов с помощью координат и выполнение различных действий с векторами.

       При изучении темы “ - мерный вектор и - мерное пространство” внимание следует обратить на возможность использования - мерных векторов в задачах экономики и управления. Более детально следует изучить понятие размерности и базиса линейного пространства, исследование векторов на линейную независимость, а также определение координат заданного вектора в новом базисе.

       При изучении темы “Линейный оператор” особое внимание следует обратить на понятие линейного оператора, алгоритм нахождения его собственных векторов и собственных значений, а также их применение в экономике.

       При изучении темы “Уравнение прямой на плоскости” особое внимание следует обратить на различные виды уравнений прямой и их применение в геометрических задачах.

       При изучении темы “Кривые второго порядка” внимание следует обратить на взаимосвязь различных параметров кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы), а также на приведение квадратичной формы к каноническому виду, исследованию знакоопределенности квадратичной формы.