Рабочая программа элективного курса “Методы решения уравнений” (9 класс) (стр. 5 )

Пример 3. Так как – возрастающая функция, от уравнения можно перейти к уравнению . Это – равносильное преобразование уравнения.

Если – немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней.

Пример 4. Так как – немонотонная функция, то уравнение заменить уравнением нельзя, потому что потеряем корень .

Задания для самостоятельного решения.

Решите уравнения:

1.

  Ответ: корней нет.

2.  

  Ответ: .

3.  

  Ответ: .

4.  

  Ответ: .

5.  

  Ответ: .

Дополнительные задания.

Решите уравнения:

1.

  Ответ: .

2.

  Ответ: .

3.

  Ответ: .

4.

  Ответ: .

5.

  Ответ: .

3. Метод введения новой переменной.

Умение удачно ввести новую переменную приходит с опытом. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но “ощущается”, а иногда “проявляется” лишь в процессе преобразования.

При решении уравнения не надо торопиться начинать выполнять какие-либо преобразования, сначала необходимо подумать, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную. И если ввели новую переменную, то решаем полученное уравнение относительно новой переменной до конца, т. е. вплоть до проверки корней (если это необходимо), и только потом возвращаемся к исходной переменной.

Метод введения новых неизвестных полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно, если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).

Занятие 3.1 . Уравнения, приводимые к квадратным.

Пример 1. Решите уравнение:

Пусть , где

– не удовлетворяет условию

Чтобы найти , решаем уравнение ;  

        Ответ: .

Пример 2. Найдите произведение корней.

Пусть

 

   

     

     

    корней нет

 

  Ответ: -4.

Пример 3. Решите уравнение: .

Пусть , тогда

Получим квадратное уравнение относительно переменной .

 

Если , то , .

Вернёмся к переменной .

   

решения нет 

 

  Ответ: 144.

Пример 4. Решите уравнение: .

После раскрытия скобок получится уравнение четвёртой степени и придётся либо искать его целые корни, либо попытаться найти какое-то разложение на множители – перспективы не очень радостные. Однако, у этого уравнения есть важная особенность: если попарно перемножить выражения, стоящие во внешних скобках произведения, и выражения, стоящие во внутренних его скобках, то получится уравнение, в котором “кандидат” на роль новой переменной очевиден.

 

Пусть . Получаем:

 

 

Возвращаемся к исходной переменной :

    или 

   

    .

  Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение: .