Хорошо видно, что всё дерево ограничено. Если самый большой квадрат единичный, то дерево поместится в прямоугольник 6 Ч 4. Значит, его площадь не превосходит 24. Но с другой стороны, каждый раз добавляется в два раза больше троек квадратиков, чем в предыдущий, а их линейные размеры в √2 раз меньше. Поэтому на каждом шаге добавляется одна и та же площадь, которая равна площади начальной конфигурации, то есть 2. Казалось бы, тогда площадь дерева должна быть бесконечна! Но на самом деле противоречия здесь нет, потому что довольно быстро квадратики начинают перекрываться, и площадь прирастает не так быстро. Она всё-таки конечна, но, по всей видимости, до сих пор точное значение неизвестно, и это открытая проблема. Если менять углы при основании треугольника, то будут получаться немного другие формы дерева. А при угле 60° все три квадрата окажутся равными, а дерево превратится в периодический узор на плоскости

Можно даже заменять квадраты на прямоугольники. Тогда дерево будет больше похоже на настоящие деревья. А при некоторой художественной обработке получаются довольно реалистичные изображения:

  9

Если же в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов. Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево Пифагора. Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо образом выбранные «центры» треугольников, то получается обнаженное дерево Пифагора:

 

3.4 Природные фракталы.  а) Фракталы в живой природе  Нередко то, что мы наблюдаем в природе, удивляет  нас бесконечным  повторением одного и то же узора, увеличенного или уменьшенного. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т. д. Элемент «разветвления» может повторяться много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды — вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство само подобия. Фракталы с большой точностью описывают многие физические и природные явления: облака, горы, течения, береговые линии, корни и ветки деревьев, листья папоротника, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам. Поэтому мы можем вслед за Мандельбротом с полным правом говорить о фрактальной геометрии  природы.  Растения нашей планеты являются самыми древнейшими природными фракталами. Эта фрактальность особенно ярко выражена в листе папоротника.      10

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Форма листа папоротника является классическим примером фрактала. Да и самому растению приписываются магические свойства.
Всем нам хорошо известна легенда, что раз в году в ночь на Ивана Купала распускается волшебный цветок папоротника. Согласно поверью, именно в купальскую полночь ненадолго раскрывалась земля перед тем, кто нашел цветок папоротника, делая видимыми скрытые в ней сокровища и клады.

Древнейшими природными фракталами нашей планеты являются деревья.

 

Строение кроны деревьев и корневой системы не оставляют сомнений в своей фрактальной природе.
Растения и деревья сформировали плодородный слой нашей планеты, и от него зависит наше существование, как биологического вида.
Деревья, вопреки законам гравитации растут вверх и способны перерабатывать солнечную энергию.
Деревья – это не только природные фракталы, это еще и легкие нашей планеты. Неудивительно, что кровеносная система и строение легких человека, сетчатка глаза человека имеют такую же фрактальную форму, как и деревья.

   

Также в природе можно встретить  фрактальные  животные

Осьминог – морское придонное животное из отряда головоногих. 
Очевидно фрактальное строение его тела и присосок на всех восьми щупальцах. Присосок на щупальцах взрослого осьминога достигает до 2000.  Коралл - их огромные скопления образуют целые коралловые рифы, фрактальный способ образования которых заметен даже невооруженным глазом.

    11

Ярким примером фрактала в природе является капуста «Романеску», она же «романская брокколи» или «цветная коралловая капуста». Первые упоминания об этом экзотическом овоще относятся к Италии 16 века. Почки этой капусты растут по логарифмической спирали. Ей не перестают восхищаться 3D-художники, дизайнеры и кулинары

Рассмотрим строение цветной капусты. Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом - однако все, что мы получим - это крошечные копии цветной капусты. В этом простейшем случае даже небольшая часть фрактала содержит информацию обо всей конечной структуре

   

б) Фракталы в неживой природе.

Фрактал – удивительное явление, способное выступать моделью сложных природных систем  горных хребтов, береговых линий, поверхности Луны.  Что же касается соответствия реальному миру, то фрактальная геометрия описывает весьма широкий класс природных процессов и явлений. Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: облака, горы, турбулентные течения, береговые линии, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам, и поэтому мы можем вслед за Б. Мандельбротом с полным правом говорить о фрактальной геометрии природы.  В этой галерее (приложение 1) мы собрали природные образы, в которых ясно видна фрактальность. И конечно, в природе гораздо больше фрактальных объектов, нежели тут представлено, поскольку фракталы, по нашему скромному мнению - сама суть природы

12

 

     

   

   

Практическая работа

 

За основу своей практической работы мы взяли шестигранную снежинку. (Приложение рис.1) Из 7 подобных снежинок мы составили увеличенную копию данной снежинки. (Приложение рис.2) На следующем этапе, используя 7 увеличенных снежинок, мы составили еще одну снежинку большего размера. Сразу стало ясно, что она представляет собой точную копию той, что была взята нами изначально. Так как из работы мы уже знаем, что фрактал - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого, мы можем с уверенностью утверждать, что полученная нами снежинка является фракталом.  (Приложение рис.3) Чем же данный, самодельный фрактал может быть полезен в наше время? Многие люди не догадываются о таком понятии, как фрактал, не смотря на то, что они окружают нас повсеместно. Данная модель может помочь преподавателям больше рассказать своим ученикам о таком удивительном явлении на конкретном примере. При изучении в школах или других образовательных учреждениях наша снежинка может использоваться не только как пример, но и как модель создания подобных фракталов своими руками. Возможно, такая снежинка заинтересует школьников помладше не только своим строением, но и красотой, которая, несомненно, завораживает. Фракталы получили большую популярность в наше время в компьютерной графике. Но мы доказали, что любой человек может создать собственный фрактал не только при помощи специальных программ на своих компьютерах, но и без каких-либо специальных средств. Главное – фантазия! (Приложение рис.4, рис.5, рис.6) 

13

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4