«Фракталы - красота математики» (стр. 1 )

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ЗАРЕЧЕНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

(143085, Московская область, Одинцовский район, р. п.Заречье, ул. Берёзовая, д.1)

тел.[phone]

КОНКУРСНАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИКЕ

Название работы

«Фракталы – красота математики»

Выполнили: 

, 9 класс

Московская область,

  Одинцовский район, р. п. Заречье,

ул. Университетская,

Агабалаева Эрзи Мадридовна, 9 класс

Московская область, Одинцовский район,

р. п. Заречье, ул. Университетская,

Руководитель: 

учитель математики

Зареченской средней общеобразовательной школы

Заречье

2013

Содержание:

Введение……………………………………………..стр.1 Фрактальная геометрия……………………………..стр.2-3 История возникновения…………………………….стр.3-5 Классификация фракталов………………………….стр.5-12

4.1. Геометрические фракталы……………………..стр.5-7

4.2. Алгебраические фракталы……………………..стр.7-8

4.3. Стохастические фракталы……………………..стр.8-10

4.4. Природные фракталы ………………………….стр.10-12

  а) Фракталы в живой природе…………………стр.10-12

  б) Фракталы в неживой природе……………....стр.12

5.  Практическая работа………………………………..стр.13

6.  Применение………………………………………….стр.14-15

7.  Заключение…………………………………………..стр.16

8.  Список литературы

Введение

Актуальность работы:  Интерес к проблеме обусловлен возросшей ролью фракталов не только в компьютерной графике, но и во множестве других сферах деятельности. Вместе с тем, сегодня фракталы еще не изучены до конца. Знакомство с фракталами заставляет пересмотреть взгляды любого человека на геометрические свойства природных и искусственных объектов.  Фрактал – удивительное явление, способное выступать моделью сложных природных систем, вроде кроны деревьев, горных хребтов, береговых линий, поверхности Луны. Кроме того, древовидные фракталы применяются для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы, а также для создания, максимально похожих на настоящие, виртуальных объектов. Они также незаменимы при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фракталы - понятия, вошедшие в научную картину мира сравнительно недавно, лишь в последней четверти ХХ века. В 1975 году французский математик Бенуа Мандельброт издал книгу «The fractal Geometry of Nature» («Фрактальная геометрия природы» - перевод авторов данной работы) Слово «фрактал» стало модным, более того, интерес не угасает и в наше время не только в кругу специалистов - физиков, математиков, биологов, но и среди людей, далеких от науки. Различные исследования, связанные с фракталами, меняют привычные каждому из нас представления об окружающем мире. Красота фракталов выявила новые закономерности эстетической гармонии мира, которую другими, неформальными средствами исследуют художники, архитекторы и композиторы.

Основная идея:
  Открытие фракталов  произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Фрактальные алгоритмы нашли применение в информационных технологиях. Основная идея работы заключается в изучении, анализе и систематизации литературы и Интернет-ресурсов о фракталах, ознакомлении с историей, рассмотрении применения в различных областях науки и техники. Разработке алгоритмов построения геометрических и алгебраических фракталов в инструментальной среде программирования

Цель:  Целью научно-исследовательской практики является систематизация, расширение и закрепление знаний о понятии фрактал. Формировании  навыков ведения самостоятельной научной работы учеников и развитии творческих способностей.

1

1. Фрактальная геометрия  Когда-то большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, кони­ческое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движут­ся вокруг солнца по эллиптическим орбитам? Этот замечательный закон — один из трех постулатов планетарного движения, сформу­лированных Иоганном Кеплером на основе наблюдений и измерений, сделанных Тихо Браге. Позднее, сэр Исаак Ньютон вывел закон обратных квадратов для гравитационного притяжения как решение некоторого дифференциального уравнения, причем законы Кеплера следовали из его решения. Как в этом, так и в других случаях, когда применение простых геометрических моделей оказалось удачным, это привело к огромным научным достижениям.  Все прекрасно знают и много раз слышали и употребляли в своем творчестве теорию золотого сечения, но почему-то о такой теории как фрактальная геометрия в фотографии практически не слышно. В науке эта теория (или концепция) была открыта лишь в семидесятых годах прошлого века, хотя в человеческой культуре она существует уже тысячи лет. И это только если говорить о человеческой культуре. В природе эта теория существует с момента ее создания.
"Геометрию часто называют "холодной" и "сухой". Одна из причин этого состоит в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. Многие природные объекты настолько иррегулярны и фрагментированы, что по сравнению со стандартной геометрией Евклида природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня."
Бенуа Мандельброт.  Однако многие природные системы настолько сложны и нере­гулярны, что использование только знакомых объектов классиче­ской геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоя­щей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной. Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду? Какая математика отвечает за ритмы сердца и головного мозга, наблюдаемые на электрокардиограмме и энцефалограм­ме, в особенности за те внезапные приступы аритмии, которые могут вызвать сбой в работе сердца? Можно ли математически описать внезапное возникновение волны паники на финансовых рынках или даже построить математическую модель социального поведения?
Фракталы и математический хаос — подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгно­венный снимок водопада. Хаос — термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. 

  2 

Что такое фракталы?  Фрактал - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого.  Фрактальная геометрия – это теория построения чего-либо на основе одного простого правила – САМОПОДОБИЯ - каждая мельчайшая часть структуры является подобной всей структуре в целом или же какой либо более крупной части структуры. Фрактальная геометрия – это теория построения снежинки, облака и вселенной в целом. С помощью фрактальной геометрии можно даже измерить степень хаоса и описать форму облака. Это принципиально другая, но не менее совершенная модель построения структуры. Это совершенно другая культура и абсолютно другой взгляд на окружающий мир.
Основная проблема классической математики перед фракталами - невозможность измерить длину, высоту и т. д., т. к. фракталы всегда бесконечны.
Многим, конечно, это трудно понять т. к. в школе нас учили евклидовой геометрии – прямоугольники, треугольники, окружности. Но если понять принцип фрактальности – открывается огромнейший горизонт для нового взгляда на мир. 2. История возникновения.  Заслуживает внимания тот факт, что появление фракталов (еще не получивших этого имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это бывало в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их патологией, предста­вляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих  математическими причудами, а не для настоящих ученых.

В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение из­менилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой прикладной наукой.  Бенуа Мандельброт ( род. 20 ноября 1924, Варшава) — французский математик. Основатель и ведущий исследователь в области фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993). Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев, но уже в 1936 году семья Бенуа Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж. В Париже он попал под влияние своего дяди Шолема Мандельбройта, известного парижского математика, члена группы математиков, известной под общим псевдонимом «Николя Бурбаки». После начала войны Мандельброты бежали на свободный от оккупации юг Франции, в городок Тюль. Там Бенуа Мандельброт пошел в школу, но вскоре потерял интерес к учебе. Поэтому к шестнадцати годам он еле знал алфавит и таблицу умножения до пяти. Но у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Сорбонны. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение. 

  3 

Он даже алгебраические задачи решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила Бенуа Мандельброту поступить в университет. Окончив университет, Бенуа Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Он получил докторскую степень.
В 1958 он переехал в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне, поскольку IBM в то время занималась как раз интересными Бенуа Мандельброту областями математики.
Работая в IBM, Бенуа Мандельброт ушел далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики. Ему нравилось именно переключаться с одной темы на другую, изучать различные направления.
Исследуя экономику, Бенуа Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми.
Бенуа Мандельброт  ввел в употребление термин фрактал (от латинского fractus, означающего «сломанный, разбитый»). осно­вываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа, предложенной в 1919 году. За много лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии, Мандельброт приступил к исследованию появления монстров и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кан­тора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броунов­ское движение для моделирования лесного и горного ландшафтов, флуктуации уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его книг приложения фрактальной геометрии стали появляться как грибы после дождя. Это коснулось как многих прикладных наук, так и чистой математики. Даже киноиндустрия не осталась в стороне. Миллионы людей любовались горным ландшафтом в фильме «Звездное переселение II: гнев хана», сконструированным с помощью фракталов.
Французский математик Анри Пуанкаре инициировал исследова­ния в области нелинейной динамики около 1890 года, что привело к появлению современной теории хаоса - Интерес к предмету заметно увеличился, когда Эдвард Лоренц, занимавшийся нелинейным мо­делированием погоды, в 1963 году обнаружил невозможность долго­срочных прогнозов погоды. Лоренц заметил, что даже ничтожные ошибки при измерении параметров текущего состояния погодных условий могут привести к абсолютно неправильным предсказаниям о состоянии погоды в будущем. Эта существенная зависимость от начальных условий лежит в основе математической теории хаоса.
Траектории частиц броуновского движения, которым занима­лись Роберт Броун еще в 1828 году и Альберт Эйнштейн в 1905 году, представляют собой пример фрактальных кривых, хотя их математическое описание было дано только в 1923 году Норбертом Винером. В 1890 году Пеано сконструировал свою знаменитую кри­вую — непрерывное отображение, переводящее отрезок в квадрат и, следовательно, повышающее его размерность с единицы до двойки.