Выступление на Педсовете на тему: «Средства наглядности и их использование в процессе обучения математике в начальных классах» (стр. 6 )

«Математика. Наглядная геометрия. Тетрадь. ФГОС»

Приложение 2

Основные геометрические понятия НКМ

Дадим краткую характеристику геометрическим понятиям, с которыми знакомятся младшие школьники.

Точка – неопределяемое понятие геометрии. С точкой обычно знакомят методом показа – рисуют или прокалывают стержнем ручки в листочке бумаги. Считается, что точка не имеет ни длины, ни ширины, ни площади.

Линия – неопределяемое понятие геометрии. С линией знакомят методом показа – моделируют из шнура, или рисуют на доске или на листе бумаги.

Прямую линию удобно моделировать, сгибая любой лист бумаги – линия сгиба всегда прямая. Основное свойство прямой линии: прямая линия бесконечна.

Кривую линию удобно моделировать из шнура. Кривая линия также бесконечна (если она не замкнутая).

Ломаную линию удобно моделировать, используя счётные палочки или складной металлический метр. Ломаная линия содержит конечное число звеньев. Звено ломаной – отрезок. Точки соединения концов звеньев называют – вершинами ломаной. Звенья ломаной должны быть соединены последовательно. Например:

[14]

В программе начальной школы линии рассматривают только на плоскости. Основные взаимоотношения точки и прямой или кривой линии, с которыми знакомятся дети:

1. Через одну точку можно провести множество прямых.

2. Через одну точку можно провести множество кривых.

3. Через две точки можно провести только одну прямую.

4. Через две точки можно провести множество кривых.

Отрезок – часть прямой, заключённая между двумя точками. Отрезок имеет определённую длину, которую можно измерить. Линейка – инструмент для измерения длин отрезков.

Ломаная и кривая линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Замкнутая ломаная на плоскости ограничивает многоугольник.

Многоугольник – плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной.

Треугольник – ограничен ломаной из трёх звеньев. Соответственно имеет три стороны и три вершины.

Четырёхугольник – ограничен ломаной из четырёх звеньев. Соответственно имеет четыре стороны и четыре вершины.

Длина ломаной – сумма длин звеньев ломаной. Для нахождения длины ломаной следует измерить длину каждого звена и результаты сложить.

Прямой угол – это угол, который по определению содержит 90 °. Поскольку в начальной школе при обучении по стабильной программе дети не знакомятся с градусной мерой углов, понятие прямого угла даётся методом показа (рис.3):

Рис. 3. Прямой угол.

Для получения модели прямого угла учащиеся используют лист бумаги, сгибая его соответствующим образом.

Методом проб дети учатся находить прямой угол среди рисунков других углов и на различных геометрических фигурах: прикладывают к ним свою модель, выделяя углы, с ней совпадающие. Модель прямого угла служит средством проверки такого выбора. В дальнейшем бумажная модель прямого угла заменяется угольником, который является основным инструментом для распознавания и построения прямых углов.

Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые. Основное свойство прямоугольника: противолежащие стороны прямоугольника имеют равные длины. Это свойство учащиеся определяют опытным путём: перегибают бумажные модели прямоугольников, совмещая противолежащие стороны. При невозможности применить этот метод, его заменяют измерением длин противолежащих сторон.

Используя это свойство, дети должны уметь чертить прямоугольник по известным длинам двух его сторон, понимая, что две другие стороны имеют такие же длины, а углы его – прямые.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны. Используя это определение, учащиеся должны уметь чертить квадрат по известной длине одной стороны, понимая, что все остальные стороны квадрата имеют такую же длину, а углы его – прямые.

Во втором или третьем классе (зависит от программы) дети знакомятся с обозначением фигур заглавными латинскими буквами. В системе «Перспектива» (авторы:, , ) знакомство с обозначением фигур происходит в первом классе. Чтобы назвать многоугольник, обозначают буквами его вершины. Например, прямоугольник ABCD (рис. 4).

Рис. 4. Геометрические фигуры.

Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон. Для нахождения периметра многоугольника измеряют длины его сторон и складывают полученные результаты.

Периметр квадрата находят умножением на 4 длины его стороны, поскольку стороны квадрата имеют равные длины.

Периметр прямоугольника находят, складывая суммы длин двух его непротиволежащих сторон, и умножая результат на 2.

Площадь плоской фигуры измеряется количеством стандартных мер площади, укладывающихся внутрь фигуры. Стандартные меры площади: ммІ; смІ; дмІ; мІ; кмІ. В третьем классе дети знакомятся с смІ.

Инструмент для определения площади всех фигур – палетка.

Палетка – лист кальки (или прозрачного пластика), на который нанесена сетка квадратов размеров 1 см х 1 см. Для измерения площади фигуры с помощью палетки, её накладывают на фигуру и подсчитывают примерное число полных квадратных сантиметров в измеряемой фигуре. Для получения приближённого значения площади фигуры, число неполных квадратных сантиметров обычно рекомендуется разделить на 2.

Способ нахождения площади прямоугольника: Чтобы вычислить площадь прямоугольника, измеряют его длину и ширину (в одинаковых единицах) и находят произведение полученных чисел.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Граница круга – окружность. Поскольку в начальных классах не знакомят детей с классическим определением окружности (множество точек, равноудалённых от центра), знакомство с окружностью проводят методом показа, связывая его с непосредственной практической деятельностью по вычерчиванию окружности при помощи циркуля. Замкнутая кривая линия, которую рисует грифель циркуля – это окружность. Окружность (круг) имеет центр: точка О – центр окружности (круга) (рис. 5).

Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какой-нибудь её точкой. Например, ОК – радиус окружности (круга).

Основное свойство радиусов одной окружности: Радиусы одной окружности (круга) равны.

Диаметр окружности (круга) – отрезок, проходящий через центр окружности (круга) и соединяющий две любые её точки. Например, АВ диаметр.

Основное свойство диаметров одной окружности (круга): Диаметры одной окружности (круга) равны.

Отношения между радиусом и диметром одной окружности (круга): Диаметр равен двум радиусам.

Треугольники, имеющие стороны разной длины, называют разносторонними.

Треугольники, у которых равны две стороны, называют равнобедренными.

Среди равнобедренных треугольников есть такие, у которых равны все три стороны. Эти треугольники называют равносторонними.

Диагональ многоугольника – отрезок, соединяющий противолежащие вершины многоугольника. С диагоналями прямоугольника учащихся знакомят методом показа (рис. 6): Например, Отрезки АС и ВD – диагонали прямоугольника  ABCD, а точка О – точка пересечения диагоналей.

Рис. 6. Диагональ прямоугольника.

Основные свойства диагоналей прямоугольника: Диагонали АС и ВDимеют равные длины. Отрезки, получаемые при пересечении диагоналей прямоугольника, равны.

Данные свойства определяются эмпирическим (опытным) путём – измерением длин соответствующих отрезков.

Поскольку квадрат является прямоугольником, то его диагонали обладают теми же свойствами. Кроме того, диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Непосредственное измерение углов с помощью угольника показывает, что углы, получающиеся при пересечении диагоналей квадрата, прямые.

Луч – часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца. Изображение луча (рис. 7):

       

Рис. 7. Полупрямые.

Точка А или С – начало луча. В математике луч обычно обозначается двумя буквами. Например, луч АВ обозначает, что луч имеет началом точку А и «идёт» в сторону, обозначенную буквой В.

Числовой луч– луч, на котором точками обозначены натуральные числа. Расстояние между точками равно 1 единице измерения (единичный отрезок), которая задаётся условно. Каждой точке ставится в соответствие число, начиная с числа 1, Началу луча ставится в соответствие число 0 (рис. 8).

Рис 8. Числовой луч.

Числовой луч играет большую роль при иллюстрации понятия натуральный ряд чисел, позволяет сравнивать натуральные числа, ориентируясь на их расположение на числовом луче, позволяет выполнять приёмы присчитывания и отсчитывания по частям с опорой на числовой луч. В связи с этим некоторые учебники () знакомят детей с этим понятием ещё в первом классе. [8]

Угол – это фигура, образованная двумя лучами, имеющими общее начало. Стороны угла – это лучи, образующие угол. Вершина угла – это общее начало лучей, образующих угол.

В треугольнике не может быть более одного прямого угла. В треугольнике не может быть более одного тупого угла.

Равносторонний треугольник может быть только остроугольным.

Прямоугольный и тупоугольный треугольники могут быть равнобедренными.

Разносторонними могут быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольники.