Рабочая программа внеурочной деятельности «Увлекательная математика» (стр. 4 )

28. Даны четыре числа А, В,С, Д. Число А меньше числа В и меньше числа Д. Число В больше С и больше Д. Число С больше А и меньше Д. В каком порядке расположены эти числа?

ЛИТЕРАТУРА.

Уроки математики. Выпуск 4. Учимся логике. — Санкт-Петербург “Информатизация образования”, 2000 г. Логические задачи. — М. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005 Практикум по логике. — М. “Издательский центр АЗ”, 1997 г. Табличный метод решения логических задач. Журнал «Информатика и образование» №5 - 2002 г. , Логика в информатике. — М. “Информатика и образование”. 1999 г. задачи для внеклассной работы по математике в V - VI классах: М., МИРОС, 1993 г. Элементы математической логики и теории вероятности. — Екатеринбург, 1999

Решения

1. Задачи по теме «Натуральные числа»

1.Напишите наибольшее десятизначное число, в котором все цифры различны.

Ответ 9876543210

Решение. Наибольшее из всевозможных десятизначных чисел с различными цифрами должно начинаться с наибольшей из всех цифр, т. е. с цифры 9. Замена цифры 9 любой другой цифрой лишь уменьшает число. Аналогично рассуждая относительно деся­тизначных чисел, начинающихся с цифры 9, докажем, что следую­щей в записи искомого числа является цифра 8 — наибольшая из девяти оставшихся цифр и т. д. Таким образом, получим 9876543 210.

2.Напишите наименьшее десятизначное число, в котором все цифры различны.

Ответ 1023456789

Решение. Чтобы число с различными цифрами было на­именьшим, необходимо, чтобы на первом месте стояла наименьшая из заданных цифр, на втором — наименьшая из оставшихся и т. д. Так как целое число с нуля начинаться не может, то наименьшее из десятизначных чисел с различными цифрами должно начинаться с цифры 1. Замена цифры 1 любой другой отличной от нуля цифрой увеличивает число. На втором месте должна стоять цифра 0 — наи­меньшая из девяти оставшихся цифр, на третьем — цифра 2 и т. д. Таким образом, получим 1023456789.

Замечание. Если есть затруднения в решении зада­чи 2, то в качестве вспомогательных им можно предложить следую­щие:

а) с помощью цифр 3, 6, 2, 4 записать наименьшее четырехзнач­ное число (2 346);

б) написать наименьшее двузначное число (10);

в) написать наименьшее  четырехзначное  число (1 000);

г) написать наименьшее четырехзначное число, в котором все цифры различны (1 023).

3.  Расставьте в записи 7•9 + 12 : 3 — 2 скобки так, чтобы значение получившегося выражения было равно: а) 23; б) 75.

Ответ. а) (7 • 9 + 12) : 3 — 2 = 23; 

б) (7 • 9 + 12) : (3 — 2) = 75;  7 • 9 + 12 : (3 — 2) = 75.

Замечание. В этой задаче полезно не только найти реше­ние, но и доказать, что других решений не существует.

Сначала рассмотрим все возможные случаи заключения в скобки двух рядом стоящих чисел. Так как заключение в скобки произве­дения 7 • 9 и частного 12:3 порядок действий не меняет, остается рассмотреть три выражения:

7 • (9 + 12) : 3 — 2;  7 • 9 + 12 : (3 — 2) и 7 • (9 + 12): (3—2).

Лишь значение второго выражения дает требуемый результат (75).

Затем рассмотрим заключение в скобки трех и четырех рядом стоящих чисел и единственный случай одновременного заключения в скобки двух и трех рядом

стоящих чисел:

(7 - 9 + 12) : 3 — 2;  7 • (9 + 12 : 3) — 2;

7 • 9 + (12 : 3 — 2); (7 • 9 - 12 : 3) — 2; 7 • (9 + 12 : 3.— 2) и (7 • 9 + 12) : (3—2). Вычислив значения всех выражений, убеждаемся, что указан­ными в ответе способами исчерпывается решение задачи.

В записи 1 *2*3*4*5 замените звездочки знаками действий и расставьте скобки так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.

Ответ (1 • 2 + 3) • 4 • 5 - 100;  1 • (2 + 3) • 4 • 5 = 100.

Решение. Легко убедиться, что только сложением или вычи­танием чисел, образованных из данных цифр, число 100 получить невозможно. Так как 100 = 5 • 5 • 2 • 2, то, чтобы получить число 100 с помощью умножения, необходимо, чтобы среди множителей, образованных из данных цифр, число 5 встречалось два раза. Так как одно число 5 и число 4 уже имеются в данной записи, то для ре­шения задачи достаточно с помощью оставшихся трех цифр полу­чить число 5. Это можно сделать двумя способами: 5 = 1• 2+3 =  1 • (2 + 3).  Поэтому задача имеет два решения:

(1 • 2 + 3) 4 • 5 = 100;  1 • (2 + 3) • 4 • 5 = 100.

5. Составьте выражения, в каждое из которых входили бы лишь знаки действий и четыре раза цифра 2, так, чтобы их значение рав­нялось числам:

а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4; ж) 5; з) 6; и) 8; к) 9; л) 10.

а) 22 — 22;  2 + 2 — 2 — 2;  2 • 2 — 2 • 2;  2 : 2 — 2 : 2;

б) 22 : 22;  2-2+2:2;

в) 2 : 2 + 2 : 2; 

г) 2 • 2 — 2 : 2; 

д) 2 • 2 • 2 :2;  2 + 2 + 2 — 2;  2• 2-2 + 2;  2• 2 + 2 — 2; 

ж) 2 • 2 + 2 : 2;  2 + 2 + 2:2;

з) 2 • 2 • 2 — 2;

и) 2 + 2 + 2 + 2;  2•2 + 2•2;

к) 22 : 2 — 2;

л) 2 • 2 • 2 + 2.

6. В записи 88888888 поставьте между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 1 000.

Ответ  888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1 000

Решение. Так как сумма пяти восьмерок оканчивается нулем, то, образовав из данных восьмерок 5 слагаемых, получим ответ 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1 000.

7.  В записи 123456789 поставьте между некоторы­ми цифрами знак «плюс» или «минус» так, чтобы получилось выраже­ние, значение которого равно 100.

Ответ  123 + 45 - 67 + 8 - 9 = 100;

123 - 4 - 5 - 6 – 7+8 - 9=100;

123 - 45 - 67 + 89 = 100;

123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100;

12 - 3 - 4 + 5 - 6 + 7 + 89= 100.

8. Вычислите 99-97+95-93+91-89+…7-5+3-1.

Ответ 50.

Решение. Заметим, что 99-97=2, 95-93=2 и так далее 7-5=2, 3-1=2 то есть разность этих чисел равна 2. Определим сколько таких пар (разностей). Всего от 1 до 99 получается 99чисел, от 1 до 100 – 100 чисел. 1, 3, 5, 7, …97, 99 – только половина от 100 чисел, т. е. 50 чисел, а пар из этих чисел 50:2=25.

  Получаем (99-97)+(95-93)+…+(7-5)+(3-1)=2•25=50.

9. В следующих записях некоторые цифры заменены точками. Восстановите записи

а)..+..=197  б)….-…=1

Ответ а) 98+99=197  б) 1000-999=1.

10. Какой цифрой оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до81?

Ответ  0.

Решение. 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10•11• … •80•81=0

Если в произведении один из множителей равен 10 , то произведение оканчивается цифрой 0.

11. Сколько нулей стоит в произведении (в конце записи) всех натуральных чисел от 10 до 25?

Ответ четыре.

Решение. Первый нуль в произведении дает множитель 10, второй – 20, третий произведение 12• 15, четвертый – 22 •25.

12.  Сколько чисел можно составить, используя только цифры 2 и 5?

Ответ четыре или два.

Решение. Если цифры повторяются, то получается: 22,55, 25, 52, т. е. четыре числа. Если цифры не повторяются, то получается:  25, 52, т. е. два числа.

13. Придумайте правило, по которому можно продолжить последовательность: 20, 202, 2020, …Запишите три следующих числа.

Ответ 20202,202020, 2020202.

Решение. В последовательности 20, 202, 2020, … цифры 2 и 0 чередуются, т. е. следующие три числа будут: 20202, 202020, 2020202.

14. Какой цифрой оканчивается сумма всех однозначных чисел?

Ответ цифрой 5.

Решение: сумму всех девяти однозначных чисел: 1+2+3+…7+8+9 можно найти сложив пары 1 и 9 (1+9=10), 2 и 8 (2+8=10) и так далее, таких пар будет четыре (10•4=40) и прибавить 5 (ей пары нет). Получаем ответ 45.

Или решение: сумму всех десяти однозначных чисел: 0+1+2+3+…7+8+9 можно найти сложив пары 0 и 9 (0+9=9), 1 и 8 (1+8=9) и так далее, таких пар будет пять (9•5=45). Получаем ответ 45.

15. Какой цифрой оканчивается произведение всех однозначных чисел, не равных нулю?

Ответ цифрой 0.

Решение: В произведении девяти однозначных чисел: 1•2•3•…7•8•9 есть множители 2 и 5 произведение которых оканчивается цифрой 0, значит и всё произведение 1•2•…8•9 оканчивается цифрой 0.

16. Если к двузначному числу приписать справа цифру 0, то это число увеличится на 252. Найдите это двузначное число.

Ответ 28.

Решение:  Пусть ху - двузначное число, а если припишем 0, то получим трехзначное число ху0. Рассматривая равенство ху+252=ху0, получаем, что у=8, а х=2.

17. Найдите сумму наибольшего четырехзначного числа и наибольшего пятизначного числа.

Ответ 1099998.

Решение: наибольшее четырехзначное число 9999, а наибольшее пятизначное число 99999 и их сумма равна 109998.

18. Найдите разность наименьшего четырехзначного числа и наибольшего трехзначного числа.

Ответ 1.

Решение: 1000-999=1.

2. Задачи на выявление общего признака множества чисел.

1.

Решение. а) 1,3,5,7… Замечаем, что каждое последующее число больше, чем предыдущее на 2 и продолжив ряд получим: 9,11,13,15,17,19,21…

б) 1,4,7,10, …А здесь мы видим,  что каждое последующее число больше, чем предыдущее на 3 и продолжив ряд получим  13,16,19,21,24…

в) 40,38,36,34, А здесь мы видим,  что каждое последующее число меньше, чем предыдущее на 2 и продолжив ряд получим  32,30,28,26…

г)70,64,58,52,…В этом ряду вычитая 6 получаем следуюшее 46,40,34...

д)11,16,21,26,…Чтобы получить следующее число нужно прибавить 5, т. е. получаем: 31, 36, 41, 46, 51...

е)2,3,6,7,10,11,…В этом ряду числа записанные на нечётных местах увеличиваются на 4, начиная с 2 (2+4=6, 6+4=10) и на чётных местах так же т. е. получаем: 14,15,18,19,22,23,…

ж)10,11,15,16,20,21,…Это ряд похож на предыдущий, но отличается увеличением на 5, т. е. продолжение следующее 25,26,30,31,35,36..,…

з)2,4,8,16,…В этом ряду следующее число будет больше предыдущего в 2 раза, продолжая, получаем: 32,64,128…