Рабочая программа 01-Математика (стр. 2 )

Литература: [1] гл.4.

[2] гл. II пр-ф 1 п.1-2; пр-ф 2 п. 1, 5-6; пр-ф 3 п.1, 3-4, 6-7.

[25] пр-ф 8-10.

1.5. Евклидовы пространства – 8 часов

13. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора и угол между векторами. Ортонормированный базис. Ортонормированный базис в Rn. Замена ортонормированного базиса в Rn. Ортогональные матрицы.

14. Линейные преобразования в Rn. Матрица линейного преобразования в заданном базисе. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.

15. Линейные преобразования в евклидовом пространстве. Преобразование, сопряженное данному. Матрица сопряженного преобразования в ортонормированном базисе. Самосопряженные преобразования. Свойства собственных векторов и собственных значений самосопряженного преобразования.

16. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса. Ранг и индекс квадратичной формы. Квадратичные формы в евклидовом пространстве. Присоединенное преобразование. Теорема о квадратичной форме в евклидовом пространстве. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Литература: [1] гл. III; п. 3.5-3.9.

[2] гл. VII пр-ф 1 п.1-3, 6; пр-ф 2 п.1-2;гл. VIII пр-ф 2 п.3-4, пр-ф 3.

[25] пр-ф 6; 15-17, 22-23.

II Математический анализ и теория функций комплексной переменной – 86 часов.

2.1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной – 18 часов

2.1.1. Введение в анализ - 10 часов

17. Действительные числа и их изображение на числовой оси. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки, виды окрестностей. Переменные и постоянные величины. Понятие функции вещественной переменой. Способы задания функции. Неявные функции. Элементарные функции и их классификация.

18. Предел числовой последовательности. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечности. Функция, стремящаяся к бесконечности.

Бесконечно малые функции. Разложение функции, имеющий предел, на постоянную и бесконечно малую. Сумма и произведение бесконечно малых функций. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

19. Основные теоремы о пределах. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над функциями. Переход к пределу в неравенствах. Предел сложной функции. Признак сходимости монотонной последовательности.

Первый и второй замечательные пределы. Число e. Задача о непрерывном начислении процентов.

20. Непрерывность функции в точке. Различные формы записи условия непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции.

21. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижимость наибольших и наименьших значений, существование промежуточных значений.

Монотонные функции. Понятие обратной функции. Монотонные функции, имеющие обратные.

Непрерывность основных элементарных функций (доказательство для одной функции). Непрерывность элементарных функций. Сравнение бесконечно малых.

Литература: [1] гл. V, VI.

[4] гл. I, II.

[6] гл. I пр-ф 1.9-1.10; гл. III пр-ф 2.1-2.6; гл. III.

2.1.2. Производная и дифференциал - 4 часа

22. Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Дифференцируемость функции в данной точки. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке. Дифференциал функции. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. Производная функций y=a, y=x, y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

23. Производная обратной функции. Вычисление производной логарифмической и обратных тригонометрических функций. Производная и дифференциал сложной функции. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Таблица производных Инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной. Понятие о производных и дифференциалах высших порядков.

Литература: [1] гл. VII. гл. IX

[4] гл. III. пр-ф 1-15, 20-23.

[6] гл. IV пр-ф 4.1-4.7, 4.8-4.10.

2.1.3. Приложения производной - 4 часа

24. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

Условия возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Достаточные условия строгого экстремума.

25. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.

Литература: [1] гл. VIII.

[4] гл. IV, пр-ф 1-7, 9-11;

[6] гл. IV пр-ф 4.12-4.13, 4.17-4.20.

II СЕМЕСТР -34 часа

2.2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - 6 часов.

26. Понятие функции 2-х переменных. Область определения и график функции 2-х переменных. Понятие функции n переменных. Частное и полное приращение функции. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных. Основные свойства функции нескольких переменных, непрерывной в ограниченной замкнутой области.

Частные производные и частные дифференциалы функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Полный дифференциал функции.

27. Дифференцирование сложных функций. Полный дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала функции нескольких переменных. Производные неявной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о независимости результата дифференцирования от порядка дифференцирования.

28. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Достаточные условия экстремума для функции 2-х переменных. Понятие условного экстремума. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Литература: [1] гл. XV.

[4] гл. VIII пр-ф 1-7; пр-ф 10-15; пр-ф 17-18.

[6] гл. VIII пр-ф 8.1.-8.5, 8.7-8.9, 8.11-8.16, 8.19.

2.3. Комплексная переменная и функции комплексной переменной – 8 часов

2.3.1. Комплексные числа и многочлены. - 4 часа.

29. Комплексные числа. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Сложение и вычитание комплексных чисел. Умножение и деление комплексных чисел. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня. Показательная форма записи комплексного числа. Формула Эйлера.

30. Многочлены в комплексной области. Деление многочленов. Теорема Безу. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Теорема о разложение многочлена на множители. Кратные корни многочлена. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных сомножителей.

Дробно-рациональные функции. Разложение правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на сумму простейших дробей с вещественными коэффициентами.

Литература: [4] гл. VII. пр-ф 1-8.

[6] гл. V пр-ф 5.3-5.5.

2.3.2. Функции комплексной переменной и их дифференцирование – 4 часа

31. Понятие функции комплексного переменного. Предел функции в точке. Непрерывность. Производная и дифференциал. Необходи­мые и достаточные условия дифференцируемости функции. Ана­литические функции

32. Элементарные функции. Показательная функция и логарифм, тригонометрические и гиперболические функции, общая степенная функция.

Литература: [4] гл.6. [22] ч.1.; [18] гл.1-2,5.;

[21] гл.1-2, гл.4-7.

2.4. Интегральное исчисление функции одной переменной – 12 часов

2.4.1. Неопределенный интеграл - 6 часа.

33. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Простейшие приемы интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле.

34. Интегрирование по частям. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование дробно-рациональных функций.

35. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

Литература: [1] гл. X.

[4] гл. X.; [6] гл. V.

2.4.2. Определенный интеграл -6 часов

36. Задача о площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл, как предел интегральных сумм. Достаточные условия существования определенного интеграла. Геометрический и экономический смысл определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.

37. Интеграл с переменным верхним пределом. Непрерывность интеграла по верхнему пределу. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

38. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, вычисление объемов тел вращения.

Несобственные интегралы. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости несобственных интегралов (признак Дирихле). Главное значение несобственного интеграла.

Литература: [1] гл. XI.

[4] гл. XI пр-ф 1-7; гл. XII пр-ф 1, 5.

[6] гл. VI пр-ф 6.1-6.4, 6.8-6.11; гл. VII пр-ф 7.2.

2.5. Интегральное исчисление функций нескольких переменной – 6 часов

2.5.1. Кратные интегралы - 4 часа

39. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Теорема о существовании двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Двукратный интеграл. Сведение двойного интеграла к двукратному: в случае прямоугольной и произвольной области. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление объемов и площадей с помощью двойного интеграла.

40. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление объемов и площадей с по­мощью двойного интеграла. Тройной интеграл и его свойства. Сведение тройного интеграла к трехкратному. Понятие об n-кратном интеграле и его вычислении.

Литература: [1] гл. XV пр-ф 15.9.

[5] гл. XIV пр-ф 1-4; пр-ф 11-13.