Рабочая программа 01-Математика (стр. 3 )

[7] гл. II пр-ф 2.1.-2.7.

2.5.2. Криволинейные интегралы - 2 часа

41. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам 1-го рода. Определение, свойства и вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Задача о работе. Определение, свойства и вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. Ориентация плоской области. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейных ин­тегралов. Условия независимости криволинейного интеграла от пути ин­тегрирования.

Литература: [6] т.2 гл.6 § 47, § 50-51.

2.6. Интеграл по комплексной переменной – 2 часа

42. Интегрирование функций комплексного переменного. Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши. Теорема Коши для многосвязных областей. Формула Коши и теорема о среднем. Принцип максимума модуля и лемма  Шварца. Высшие производные.

Литература: [4] гл.6.; [22] ч.1.; [18] гл.1-2,5.; [21] гл.1-2, гл.4-7.

III СЕМЕСТР -34 часа

2.7. Поверхностные интегралы – 6 часов

43. Элементы теории поверхностей. Элементарные поверхности. Простые поверхности. Регулярные поверхности. Параметрические заданные поверхности. Поверхности, заданные неявно. Задание поверхности с помощью векторной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

44. Явное представление поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Кривые на поверхности. Вычисление их длин и углов между ними. Понятие площади поверхности. Квадрируемость гладких поверхностей. Односторонние и двухсторонние поверхности.

45. Определение, свойства и вычисление поверхностного интеграла 1-го рода. Задача о потоке жидкости. Определение, свойства и вычисление поверхностного интеграла 2-го рода. Поверхностные интегралы 2-го рода, не зависящие от выбора декартовой системы координат.

Литература: [6] т.2 гл.6 § 47, § 50-51.; [5] т.2 гл.15 $1-6.

[19] ч.2 гл.4-5.

2.8. Векторный анализ - 4 часа

46. Скалярные поля. Поверхности уровня и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Инвариантное определение градиента. Дифференцируемые векторные поля. Дивергенция и ротор векторного поля. Производная векторного поля по направлению. Повторные операции теории поля. Оператор Гамильтона. Его применение.

47. Поток векторного поля через поверхность. Теорема Остроградского о выражении потока векторного поля через замкнутую поверхность интегралом по объему. Инвариантное определение дивергенции. Физический смысл дивергенции в поле скоростей несжимаемой жидкости. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Инвариантное определение ротора. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Основные свойства соленоидального поля. Условия потенциальности по­ля. Вычисление криволинейного интеграла в случае потенциальности поля.

Литература: [6] т.2 гл.6 § 52.; [4] гл.3

[5] т.1 гл.8 § 13-15; т.2 гл.15 § 7-9.

[19] ч.2 гл.6.

2.9. Ряды - 12 часов

48. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Геометрическая прогрессия. Необходимое условие сходимости ряда. Простейшие действия над сходящимися рядами: умножение на число, сложение и вычитание. Гармонический ряд.

Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости ряда. Обобщенный гармонический ряд.

49. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница, оценка остатка ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Теорема Римана. Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых рядов.

50.Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость функционального ряда. Степенные ряды с комплексными членами. Первая теорема Абеля. Круг сходимости и радиус сходимости степенного ряда. Вторая теорема Абеля. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда..

51. Аналитические функции. Представление аналитических функций рядами. Единственность разложения аналитической функции в степенной ряд. Поведение остатка степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

52. Ряд Тейлора. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора. Необходимые и достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Функции , , для комплексных значений аргумента. Формулы Эйлера.

53. Ряд Лорана. Область сходимости ряда Лорана. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Особые точки. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции. Понятие вычета. Формулы вычисления вычета. Основная теорема о вычетах. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.

Литература: [1] гл. XIII-XIV.

[5] гл. XVI пр-ф 1-8; пр-ф 13-20.

III. Обыкновенные дифференциальные уравнения - 8 часов

54. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Общее и частное решение уравнения n-го порядка. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (формулировка). Особые решения дифференциального уравнения. Метод изоклин. Элементы качественного анализа дифференциального уравнения первого порядка.

55. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

56. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, свойства их решений. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Характеристическое уравнение. Структура общего решения однородного уравнения.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.

57. Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные системы. Векторная запись нормальной системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство (плоскость), фазовая кривая. Приложения в моделировании экономических процессов. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Литература: [1] гл. XII.

[5] гл. XIII § 1-7; § 16-18; § 20-21; § 24.

[7] гл. I § 1.1.-1.9, 1.11; 1.14, 1.16-1.18.

IV. Ряд и интеграл Фурье. - 4 часа

58. Ряд Фурье. Тригонометрическая система. Коэффициенты Фурье. Периодическое продолжение функции. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на интервале . Ряд Фурье в комплексной форме. Сходимость рядов Фурье в точке. Интеграл Дирихле и его свойства. Признак Дирихле-Жордана о сходимости ряда Фурье для кусочно-монотонной функции.

59. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье. Условия представления функции в виде интеграла Фурье: признак Дини и признак Дирихле-Жордана. Различные виды записи формулы Фурье. Главное значение интеграла. Комплексная запись интеграла Фурье.

Литература: [6] т.3 гл.7 § 56.; [4] гл.4 § 4.12-4.18.

[5] т.2 гл.17 § 13-16. [1] гл. XIII-XIV.;

[5] гл. XVI § 1-8; § 13-20.; [19] ч.2 гл.10 § 6-7.

IV СЕМЕСТР -34 часа

V. Элементы теории вероятностей - 22 часа

5.1 Случайные события – 2 часа

60. Предмет теории вероятностей. Классификация случайных событий. Диаграммы Венна. Действия над случайными событиями. Пространство элементарных событий, алгебра событий.

Литература: [2] Раздел C, гл. I, §§ 1.1, 1.2;

[7] Раздел 1, гл. 1, §§ 1.1, 1.7;

[8] Часть I, гл. 1, §§ 1, 2;

[9] Раздел 1, гл. 1.

5.2. Вероятность события – 4 часа

61. Статистический подход к описанию случайных событий. Частота события и ее свойства. Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики: выборки и их классификация; комбинаторный принцип умножения.

62. Размещения, перестановки, сочетания, размещения и перестановки с повторениями. Геометрическое определение вероятности. Аксиоматическое определение вероятности. Следствия из аксиом вероятности.

Литература: [2] Раздел C, гл. I, § 1.3;

[7] Раздел 1, гл. 1, §§ 1.2-1.6, 1.12;

[8] Часть I, гл. 1, §§ 3-8;

[9] Раздел 1, гл. 2.

5.3. Алгебра вероятностей – 2 часа

63. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей, независимость событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Литература: [2] Раздел C, гл. I, § 2, § 3.1-3.2;

[7] Раздел 1, гл. 1, §§ 1.8-1.11;

[8] Часть I, гл. 2, 3, 4;

[9] Раздел 1, гл. 3.

5.4. Случайные величины и их числовые характеристики – 8 часов

64. Случайная величина и ее функция распределения. Свойства функции распределения: ограниченность, монотонность, непрерывность слева, значения на бесконечности, значения в точках разрыва. Вероятность попадания значений случайной величины в заданный интервал. Функция от случайной величины. Функция распределения линейной функции от случайной величины.

Дискретная случайная величина и ее закон распределения. Многоугольник распределения. Вид функции распределения дискретной случайной величины. Независимые испытания по схеме Бернулли, биноминальное распределение. Предельные теоремы в схеме Бернулли: теорема Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Функция Гаусса и ее свойства, функция Лапласа и ее свойства. Типичные распределения дискретных случайных величин, отличные от биноминального: распределение Пуассона, геометрическое и гипергеометрические распределения.

65. Непрерывная случайная величина и плотность ее распределения. Свойства функции плотности распределения непрерывной случайной величины: условие нормировки, связь с функцией распределения, вероятностный смысл. Типичные распределения непрерывной случайной величины: равномерное, нормальное, показательное распределения.