Техническая механика Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в помощь преподавателям при проведении открытого урока 08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений Методическая разработка (стр. 3 )

Определяем значение поперечной силы - Q в характерных сечениях балки, которая  обозначена цифрами 1,2,3,4 (рисунок-2а).

  Q 1= Q 2лев=F1=24 кН,
  Q 2прав= Q 3лев = F1+ VА =24-13=11 кН,

  Q 3прав= Q 4= F1 + VА -  F2= - Vв= - 25 кН.

По найденным значениям строим эпюру поперечных сил - Q  (рисунок-1б).

Аналогично определяем значения изгибающего момента - М в характерных сечениях  балки:

М1=0; 

М2лев= F1∙2,0 = 48 кНм,
М2прав=м2лев+ m1 =48+18=66 кНм,

М3= F1 ∙5,0+ m1+ VА ∙3,0=120+18-39=99 кНм,

М4= m2=24 кНм.

По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов - М (рисунок-. 1в).

По эпюре изгибающих моментов определяем положение опасного сечения балки (сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее по абсолютной величине значение).  В нашем случае - это сечение 3, где 

  Мз=Мmах=99 кНм.

Из условия прочности  балки на изгиб:        

  д= М mах <[ди],

  Wх 

         Wх = М mах=  99∙106Н∙мм =  0,619∙ 106 мм 3  =619см3,          [ди]  160  Н/мм2

В соответствии с  ГОСТ 8239-89 ,

(приложение №1,  принимаем  сечение  балки  стальной двутавровой  № 33 

Wх  =  597 см3 ) .         

  д= М mах =99∙106 Н∙мм =165,8 МПа,

  Wх  597∙103Нм3

  д= д mах -[ди] =  165,8 -160  ∙100= 3.6% <5%, 

  [ди]  160

что находится в разрешенных пределах (менее 5%).

Ответ: сечение балки - двутавр  № 33.

Приложение :

Балки двутавровые (по гост 8239-89)

Обозначения:  - h - высота балки; b - ширина балки; d - толщина стенки;

t - средняя толщина полки; А - площадь сечения; I - момент инерции;

W - момент сопротивления; i - радиус инерции; S - статический момент полусечения.

№	Размеры, мм	А,	Ix,	Wх,	ix,	Sx,	Iу,	Wу,	iу,
	см2	см4	см3	см	см3	см4	см3	см
профиля	h	b	d	t
10	100	55	4,5	7,2	12,0	198	39,7	4,06	23,0	17,9	6,49	1,22
12	120	64	4,8	7,3	14,7	350	58,4	4,88	33,7	27,9	8,72	1,38
14	140	73	4,9	7,5	17,4	572	81,7	5,73	46,8	41,9	11,5	1,55
16	160	81	5,0	7,8	20,2	873	109	6,57	62,3	58,6	14,5	1,70
18	180	90	5,1	8,1	23,4	1290	143	7,42	81,4	82,6	18,4	1,88
20	200	100	5,2	8,4	26,8	1840	184	8,28	104	115	23,1	2,07
22	220	110	5,4	8,7	30,6	2550	232	9,13	131	157	28,6	2,27
24	240	115	5,6	9,5	34,8	3460	289	9,97	163	198	34,5	2,37
27	270	125	6,0	9,8	40,2	5010	371	11,2	210	260	41,5	2,54
30	300	135	6,5	10,2	46,5	7080	472	12,3	268	337	49,9	2,69
33	330	140	7,0	11,2	53,8	9840	597	13,5	339	419	59,9	2,79
36	360	145	7,5	12,3	61,9	13380	743	14,7	423	516	71,1	2,89
40	400	155	8,3	13,0	72,6	19062	953	16,2	545	667	86,1	3,03
45	450	160	9,0	14,2	84,7	27696	1231	18,1	708	808	101	3,09
50	500	170	10	15,2	100	39727	1589	19,9	919	1043	123	3,23
55	550	180	11	16,5	118	55962	2035	21,8	1181	1356	151	3,39
60	600	190	12	17,8	138	76806	2560	23,6	1491	1725	182	3,54

Пример решения задачи №2

(решить задачу самостоятельно, слайд 8)

Дано: Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Подобрать сечение стального двутавра, приняв [ди]=160 МПа.

  F1,=20 кН;  F2 = 30кН;  М=10кН∙м;  а = 4м;  b = 4м;  с = 2м;

а

б

в

Рисунок 1- Ход построения эпюр Q  и M.

Решение:

Составляем уравнения равновесия плоской системы произвольно расположенных  сил, из которых  определяем опорные реакции балки:

  ∑МА(FR)= F1 ∙ 4,0 - Vв∙8 – m  +F2∙10 =0 ,  (1)

  ∑ Мв(FR) = VА∙8 - F1∙4 - m + F2∙2 =0,  (2)

Из уравнения (2) находим Va:

Vв = (F1∙4- m+F2∙10) /8=(20∙4-10+30∙10)/8= 46.25кН,

Из уравнения (1) находим Vв:

VА= (F1∙4+ m - F2 ∙2) /8=(20∙4+10-30∙2) /8=30/8= 3.75кН,

Проверяем правильность опорных реакций, составляя сумму проекций всех сил на ось Y:
  ∑FRУ= VА + Vв - F1 - F2 =3.75-20+46.25-30  50-50=0,
т. е. реакции определены верно.

Определяем значение поперечной силы - Q в характерных сечениях балки, которая  обозначена цифрами 1,2,3,4 (рисунок-2а).

  Q 1= Q 2лев= VА =3.75 кН,
  Q 2прав= Q 3лев = VА - F1=3.75-20=-16.25 кН,

  Q 3прав=  Q 3лев + Vв =-16.25+46.25= 30 кН,

  Q 4лев = Q 3прав=30 кН.

По найденным значениям строим эпюру поперечных сил - Q  (рисунок-1б).

Аналогично определяем значения изгибающего момента - М в характерных сечениях  балки:

М1=0; 

М2 = VА ∙4= 3.75∙4=15 кНм,
М3 лев=  VА∙8- F1∙4=3.75∙8-20∙4= -50 кНм,

М3 прав  = М3 лев – m=-50-10=- 60 кНм,

М4= 0 

По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов - М (рисунок-. 1в).

По эпюре изгибающих моментов определяем положение опасного сечения балки (сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее по абсолютной величине значение).  В нашем случае - это сечение 3, где 

  Мз=Мmах=60 кНм.

Из условия прочности  балки на изгиб:        

  д= М mах <[ди],

  Wх 

         Wх = М mах=  60∙106Н∙мм =  0,375∙ 106 мм 3  =375см3,          [ди]  160  Н/мм2

В соответствии с  ГОСТ 8239-89 ,

(приложение №1, принимаем сечение из стального двутавра  № 27  Wх  =  371 см3)         

  д= М mах =60∙106 Н∙мм =161.7 МПа,

  Wх  371∙103Нм3

  д= д mах -[ди] =  161,7 -160  ∙100= 0.01% <5%, 

  [ди]  160

что находится в разрешенных пределах (менее 5%).

Ответ:  Vв= 46.25кН,  Vа= 3.75кН, сечение балки - двутавр  № 27 (слайд 9).

Критерии оценки задачи:

Определить реакции опор  балки  - 1 балл; Построить эпюру  - Q –  1 балл; Построить эпюру  - М – 1 балл; Подобрать сечение двутавровой балки - 1 балл; Проверить балку на прочность – 1 балл.

Преподаватель: