«Методические аспекты изучения темы «Движения» в курсе геометрии основной школы» (стр. 5 )

2.2. Методические рекомендации по изучению темы «Движения»

2.2.1. Понятие движения

1. В школьном курсе геометрии геометрические преобразования рассматриваются как точечные преобразования, то есть такие преобразования, когда каждой точке плоскости ставится в соответствие другая точка плоскости. Поэтому говорят, что задано отображение плоскости на себя (учебник и др. и учебник ) или преобразование одной фигуры в другую (учебник и учебник и др.), если, во-первых, указан способ, с помощью которого каждой точке А плоскости ставится в соответствие некоторая точка А1, и, во-вторых, каждая точка плоскости (фигуры) оказывается поставленной в соответствие другой точке плоскости (другой фигуры).

       2. При введении определения движения полезно сделать рисунок 2. Заметим, что понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении.

       

Поэтому можно представить, что мы передвигаем фигуру F по плоскости. При введении определения движения плоскости или фигуры основное внимание необходимо направить на понимание определения. Другими словами, если в условии или заключении теоремы или задачи сказано: «движение…», то учащиеся должны понимать, что выполняются два условия:

во-первых, указан способ, с помощью которого каждой точке А плоскости или фигуры ставится в соответствие некоторая точка А1, и при этом каждая точка плоскости или фигуры оказывается поставленной в соответствие какой-то одной точке плоскости или фигуры, в которую переходит данная фигура;

во-вторых, «движение сохраняет расстояния между точками», то есть если точкам А и В ставятся в соответствие точки А1 и В1, то выполняется равенство А1В1=АВ.

Для того, чтобы проверит правильность усвоения определения, можно предложить упражнение.

Точки C и D при движении переходят в точки C1 и D1. Чему равно расстояние между точками С1 и D1, если CD=6 см.

Полезно также привести контрпримеры, то есть задать такое преобразование плоскости, которое не является движением. Для этого можно предложить следующие упражнения.

Дана некоторая прямая. Поставим каждой точке плоскости в соответствие ее проекцию на эту прямую. Является ли данное преобразование плоскости движением?

[Нет, не выполняется первое условие.]

На плоскости отмечена точка О. Через точку О и каждую точку плоскости Х проведем луч ОХ и отложим на этом луче точку Х1 так, что ОХ1=2ОХ. Является ли данное преобразование плоскости движением?

[Нет, не выполняется второе условие.]

3. Для целостного восприятия понятия движения полезно познакомить учащихся со свойствами движения: «Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение» и «Преобразование, обратное движению, также является движением».

       Объяснение целесообразно начинать с разъяснения формулировок теорем. При объяснении первого свойства следует пояснить, что означает последовательное выполнение двух движений. Первое движение переводит точку А фигуры F в точку А1 фигуры F1, а второе – точку А1 фигуры F1 в точку А2 фигуры F2 (рис. 3). Два этих движения можно заменить одним преобразованием, непосредственно переводящим точку А фигуры F в точку А2 фигуры F2, при этом различные точки переходят в различные точки. Затем следует показать, что полученное преобразование сохраняет расстояния и, следовательно, является движением. Пусть две различные точки А и В первое движение переводит в точки А1 и В1, а второе – точки А1 и В1 в точки А2 и В2. Так как при движении расстояния сохраняются, то АВ=А1В1=А2В2, следовательно, полученное преобразование является движением.

       При объяснении второго свойства можно использовать рисунок 2. Пусть некоторое преобразование переводит фигуру F в фигуру F1. При этом преобразовании некоторая точка А фигуры F переходит в точку А1 фигуры F1. Пусть другое преобразование переводит точку А1 фигуры F1 в точку А фигуры F. Второе преобразование называется преобразованием, обратным первому преобразованию.

       Доказательства этих свойств следует проводить в соответствии с учебниками. Как правило, доказательство второго свойства аналогично доказательству первого, поэтому его можно провести фронтально или предложить учащимся для самостоятельной работы.

       4. Для обоснования равенства фигур через совмещение их движением необходимо ввести и обосновать следующие свойства движения:

при движении отрезок отображается на отрезок; при движении прямая отображается на прямую; при движении полупрямая отображается на полупрямую; при движении угол отображается на равный ему угол.

К доказательству этих свойств возможны разные подходы. В учебнике и др. доказательство этих свойств опирается на доказательство утверждения: «При движении отрезок отображается на отрезок». В учебнике эти свойства доказываются с опорой на теорему: « При движении точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения». Схемы их доказательств аналогичны.

Рассмотрим доказательство теоремы из учебника . Проанализируем условие теоремы. Возьмем на прямой а три различные точки А, В и С. (рис. 4). Пусть для определенности точка В лежит меду точками А и С, отсюда по аксиоме измерения отрезков следует: АС=АВ + ВС. Движение переводит точку А в точку А1, точку В в точку В1, точку С в точку С1, значит, по определению движения АС=А1С1, АВ=А1В1 и ВС=В1С1. Затем, выделив в формулировке теоремы условие (Аа, Ва и Са, АС=АВ + ВС, АА1, ВВ1, СС1; АС=А1С1, АВ=А1В1, ВС=В1С1) и заключение (А1С1=А1В1 + В1С1), выполним краткую запись.

Дано: Аа, Ва и Са;

  АС=АВ + ВС;

  АА1, ВВ1, СС1;

  АС=А1С1, АВ=А1В1, ВС=В1С1.

Доказать: А1 а1, В1 а1, С1 а1;

  А1С1= А1В1 + В1С1.

Предположение о том, что точки А1, В1 и С1 не лежат на одной прямой, полезно проиллюстрировать рисунком 5. После этого можно воспроизвести доказательство из учебника.

Справедливость утверждения «При движении прямые переходят в прямые» следует из того, что три точки одной прямой переходят в три точки, лежащие на другой прямой.

Для доказательства третьего следствия – «При движении полупрямые переходят в полупрямые» - очень важно, что точки прямых переходят в определенном порядке, поскольку необходимо зафиксировать начало полупрямой.

Справедливость утверждения «При движении отрезки переходят в отрезки» следует из того, что если некоторая точка Х принадлежит отрезку АВ, то при движении точки А и В перейдут в точки А1 и В1, а точка Х в точку Х1, принадлежащую отрезку с концами в точках А1 и В1.

При доказательстве утверждения «При движении угол отображается на равный ему угол» полезно выписать равенства, следующие из определения движения: АС=А1С1, АВ=А1В1, ВС=В1С1. После чего равенства треугольников АВС и А1В1С1 делается вывод о равенстве углов.

2.2.2. Симметрия относительно точки

1. Как правило, понятие точки, симметричной данной относительно точки, в учебниках вводится конструктивно, то есть задается правило построения точки, симметричной данной относительно фиксированной точки.

При введении определения преобразования симметрии относительно точки основное внимание необходимо направить не на запоминание учащимися формулировки определения, а на его понимание. Другими словами, если в условии сказано: «точка Х симметрична точке Х1 относительно точки О», то учащиеся должны записать в ходе решения задачи ОХ=ОХ1 , а в краткой записи условия кроме записи ОХ=ОХ1 добавить «и Х1 лежит на луче ХО». Если же в условии сказано: «фигура F симметрична фигуре F1 относительно точки О», то учащиеся должны понимать, что в этом случае точка Х фигуры F переходит в точку Х1 фигуры F1,  и записать в ходе решения задачи ОХ= ОХ1, а в краткой записи условия кроме записи ОХ= ОХ1 добавить «и О лежит на отрезке ХХ1». В заданиях наиболее часто встречается понятие центральносимметричной фигуры, то есть фигуры, которую преобразование симметрии относительно точки О переводит в себя, при этом точка О называется центром симметрии фигуры. При введении определения следует обратить внимание учащихся на ту характеристику, которая позволяет из всех преобразований выделить конкретное преобразование, а именно симметрию относительно точки. В данном случае это равенство расстояний ОХ= ОХ1 и принадлежность точки Х1 лучу ХО.

Для проверки усвоения понятия симметрии относительно точки можно предложить учащимся несколько простых заданий и вопросов.

Дана точка О. Постройте точку А1, симметричную точке А относительно точки О. Какая точка симметрична точке А1 относительно точки О? Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Назовите точку, симметричную точке А (точке В, точке С, точке D) относительно точки О. Может ли у треугольника быть центр симметрии?

2. Во всех учебниках тем или иным способом доказывается свойство центральной симметрии: «Преобразование симметрии относительно точки является движением». Определенные трудности у учащихся может вызвать построение рисунка и краткая запись условия и заключения этой теоремы. Проанализируем условие теоремы. Пусть X и Y – две произвольные точки фигуры F. Данное преобразование симметрии относительно точки О переводит точку Х фигуры F в точку Х1 фигуры F1, а точку Y фигуры F в точку Y1 фигуры F1. Так как в условии дано преобразование симметрии относительно точки, значит, ОХ= ОХ1 и OY=OY1.