«Методические аспекты изучения темы «Движения» в курсе геометрии основной школы» (стр. 6 )

Выполним краткую запись:

  Дано: О  центр симметрии;

  Х ϵ F, Y ϵ F; Х1ϵ F1, Y1ϵ F1;

  , ; ОХ= ОХ1 , OY=OY1.  Доказать: XY=X1Y1.

Конфигурация, получившаяся на рисунке 6, хорошо знакома учащимся: два отрезка, пересекающиеся в середине. Доказательство равенства, сформулированного в заключении теоремы со ссылкой на первый признак равенства треугольников, учащиеся могут провести самостоятельно.

На прямое применение теоремы можно предложить следующее упражнение.

Точки А и В при симметрии относительно точки О переходят в точки А1 и В1. Чему равна длина отрезка А1В1, если отрезок АВ=5 см?

На закрепление этого свойства центрально симметрии можно предложить учащимся выполнить следующие задания.

Точка F – середина стороны АС в треугольнике АВС. Постройте точку D, симметричную точке В относительно точки F, и докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм. Нарисуйте равносторонний треугольник АВС. Постройте треугольник А1В1С1, симметричный данному относительно вершины С. Докажите, что точки А, В, А1, В1 являются вершинами прямоугольника.

2.2.3. Симметрия относительно прямой

1. Понятие точки, симметричной данной относительно прямой, в учебниках также вводится конструктивно, то есть задается правило построения точки, симметричной данной относительно фиксированной прямой.

При введении определения преобразования симметрии относительно прямой основное внимание необходимо направить на его понимание. А именно, если в условии сказано: «точка Х симметрична точке Х1 относительно прямой g», то учащиеся должны записать в ходе решения задачи или в краткой записи условия g┴ХХ1 и АХ=АХ1, где А – точка пересечения отрезка ХХ1 с прямой g. Если же в условии сказано: «фигура F симметрична фигуре F1 относительно прямой g», то учащиеся должны понимать, что в этом случае точка Х фигуры F переходит в точку Х1 фигуры F1, и записать в ходе решения задачи или в краткой записи условия g┴ХХ1 и АХ=АХ1. В заданиях наиболее часто встречается понятие фигуры, симметричной относительно прямой g, то есть фигуры, которую преобразование симметрии относительно прямой g переводит в себя, при этом прямая g называется осью симметрии данной фигуры.

       Как всегда, при введении определения следует обратить внимание учащихся на те признаки, которые позволяют из всех преобразований выделить конкретное преобразование, а именно, симметрию относительно прямой. В данном случае – это перпендикулярность оси симметрии g и прямой, проходящей через точки Х и Х1, и равенство расстояний АХ=АХ1. Если введено понятие серединного перпендикуляра, то полезно заметить, что ось симметрии g является серединным перпендикуляром к отрезку ХХ1.

       Для проверки усвоения понятия симметрии относительно прямой можно предложить учащимся несколько простых заданий и вопросов.

Постройте точку А1, симметричную точке А относительно прямой g. Какая точка симметрична точке А1 относительно прямой g? Может ли у треугольника быть ось симметрии?

2. Во всех учебниках так или иначе доказывается свойство осевой симметрии: «Преобразование симметрии относительно прямой является движением». Определенные трудности у учащихся может вызвать построение рисунка и краткая запись условия и заключения этой теоремы. Проанализируем условие теоремы. Пусть А и В – две произвольные точки фигуры F. Данное преобразование симметрии относительно прямой g переводит точку А фигуры F в точку А1 фигуры F1, а точку В фигуры F в точку В1 фигуры F1. Так как в условии дано преобразование симметрии относительно прямой, значит, АМ1=А1М1 и ВМ2=В1М2, g┴АА1 и g┴ВВ1. Выполним краткую запись.

  Дано: Прямая g – ось симметрии;

  А ϵ F, B ϵ F;

  A1ϵ F1, B1ϵ F1;

  , ;

  AM1=A1M1, BM2=B1M2;

  g┴AA1, g┴BB1.

  Доказать: А1В1=АВ. 

Доказательство этой теоремы в учебнике и др. проводится с опорой на равенство прямоугольных треугольников (см. рис. 7), а в учебнике используется координатный метод.

На прямое применение теоремы можно предложить следующее упражнение.

Точки С и В при симметрии относительно прямой n переходят в точки С1 и D1. Чему равна длина отрезка С1D1, если отрезок СD равен 3,5 см?

Кроме того, полезно провести исследование других возможных расположений точек А и В.

Точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси симметрии g (рис. 8). Точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно оси симметрии g (рис. 9).

Точки А и В лежат на прямой, параллельной оси симметрии g (рис. 10).

На закрепление понятия движение плоскости с использованием понятия осевой симметрии можно предложить учащимся выполнить следующее задание.

Треугольник АВD – равнобедренный, АВ=AD. Постройте точку С, симметричную точке А относительно стороны BD и докажите, что четырехугольник ABCD – ромб.

2.2.4. Параллельный перенос и поворот

1. При введении понятия параллельный перенос полезно заметить, что при параллельном переносе точки сдвигаются на одно и то же расстояние и в одном и том же направлении. Другими словами, можно представить, что фигура F передвигается по плоскости в заданном направлении (рис. 11). При этом любая точка плоскости передвигается так же, как и точки фигуры F.

Понятие параллельного переноса в учебнике и др. вводится с опорой на понятие вектора как направленного отрезка. В учебнике понятие параллельный перенос вводится в координатной форме. Во всех учебниках это понятие вводится конструктивно, то есть задается правило построения точки, в которую переходит данная точка при параллельном переносе. Из определения параллельного переноса можно сделать вывод: «при параллельном переносе точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние».

2. Для доказательства утверждения «Параллельный перенос является движением» проанализируем его формулировку. Пусть А и С две произвольные точки плоскости, а B и D – точки, в которые они отображаются (рис. 12). Так как в условии дано преобразование параллельный перенос, то по определению параллельного переноса и CD║АВ║.

Выполним краткую запись:

  Дано: - вектор;

  , ;

  ;

  CD║АВ║.

  Доказать: АС= BD.

Доказательство этой теоремы в учебнике и др. проводится с опорой на признак и свойства параллелограмма, а в учебнике используется координатный метод и признак и свойства параллелограмма.

3. Преобразование поворот около данной точки является еще одним примером движения. При введении этого понятия полезно заметить, что при повороте все точки фигуры F поворачиваются на один и тот же угол в заданном направлении: либо по часовой стрелке, либо против. Другими словами, можно представить, что фигура F передвигается на плоскости по окружности в заданном направлении (рис. 13). При этом любая точка плоскости передвигается так же, как точки фигуры F. Как и понятия осевой и центральной симметрий, понятие поворота вводится конструктивно.

Пусть дана точка О. На окружности с центром в точке О можно задать два направления обхода по часовой стрелке и против нее. Этим задаются и два направления отсчета углов от выходящих из фиксированной точки О лучей (рис. 14).

При введении определения поворота около данной точки О необходимо обратить внимание учащихся на следующее. Если сказано: «выполнен поворот фигуры F около данной точки на заданный угол б», то это означает, что каждой точке Х фигуры F сопоставляется точка Х1 фигуры F1 и при этом выполняются следующие условия (рис. 15):

ОХ=ОХ1; Луч ОХ1 откладывается от луча ОХ в 

  заданном направлении;

Другими словами, каждый луч с началом в данной точке поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Следует также отметить, что точка О переходит в саму себя.

На прямое применение теоремы можно предложить следующее упражнение.

Постройте точку А1, в которую переходит точка А, при повороте около точки О на угол  60 0  по часовой стрелке.

Доказательство утверждения «Поворот является движением» рассматривается не во всех учебниках, а если доказательство проводится, то, как правило, с опорой на первый признак равенства треугольников. Поэтому это материал можно предложить учащимся для самостоятельной работы.