6) Умно­же­ние/де­ле­ние функ­ции на число или .

Пра­ви­ло. Гра­фик функ­ции при умно­же­нии рас­тя­ги­ва­ет­ся, а при де­ле­нии сжи­ма­ет­ся вдоль оси ор­ди­нат в «» раз в на­прав­ле­нии на­ча­ла ко­ор­ди­нат.

или

Таблица 1 – «Сводная таблица преобразований»

7. Решение иррациональных уравнений

Иррациональным называется уравнение, которое содержит радикалы.

При решении иррациональных уравнений следует учитывать, что:

подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным и значение корня неотрицательно; все корни нечетной степени определены при любом действительном значении подкоренного выражения; используются два основных метода – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень и введение новой переменной; при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней, поэтому проверка является составной частью решения.

Пример 9  Решите уравнение.

Решение:  Уединим радикал и затем возведем обе части в квадрат

Проверка показывает, что х1 = 0 – посторонний корень.  Ответ: 9

Пример10  Решите уравнение .

Решение: Введем новую переменную. Тогда и уравнение примет вид или - не подходит по смыслу.

Далее.

Ответ: - 5; 2.

8.Решение показательных уравнений

Показательным называется уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Методы решения показательных уравнений

Приведение обеих частей к одному основанию Вынесение за скобки общего множителя. Замена переменной Графически.

Пример 11. Решите уравнение: 34x-5 = 3x+4 .

Решение. 

34x-5 = 3x+4 <=> 4x 5 = x+4 <=> 3x=9<=> x = 3 .

Пример 12. Решите уравнение: 2x-4 = 3 .

Решение.

2x-4 = 3 <=> x - 4 = x = + 4 <=> x = + <=> x = .

Пример 13. Решите уравнение:-3x = -7 .

Решение.

-3x = -7 , решений нет, так как -3x > 0

Пример 14 . Решите уравнение: 22+x - 22-x = 5.

Решение.

22+x - 22-x = 5 <=> 22

2x - = 15 <=> 4

(2x)2 - 4 = 15x

Делаем замену t = 2x, t > 0.

Получаем уравнение 42 - 4 = 15t <=> 4t2 - 15t - 4=0

<=> , t = не удовлетворяет условию t > 0.

Вернемся к переменной х:  2х = 4<=> 2x = 22 <=> x=2.

Пример 15. Решите уравнение:

Решение.

5

Делаем замену: , тогда Получаем уравнение:

5 , t = не удовлетворяет условию t

Вернемся к переменной Х:

9. Решение логарифмических уравнений

Уравнения, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании, называются логарифмическими.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение  loga х =с (а > 0, а≠ 1)

Способы решения логарифмических уравнений:

Решение уравнений на основании определения логарифма.

loga х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение  х = ас.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

    по данным основаниям и числу определяется логарифм, по данному логарифму и основанию определяется  число, по данному числу и логарифму определяется основание.


Примеры 16

log2 128= х,  log16х = ѕ,  logх 27= 3,

2х= 128,  х =16 ѕ  ,  х3 =27,

2х = 27,  х =2 3  ,  х3 = 33  ,

х =7  .  х = 8.  х =3.


Метод потенцирования.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т. е.

loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

Пример 17  Решите уравнение  =

ОДЗ:

3х-1>0;  х>1/3

6х+8>0.

3х-1=6х+8

-3х=9

х=-3

-3 >1/3 - неверно

Ответ: решений нет.


Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Пример 18  Решите уравнение  log16х+ log4х+ log2х=7

ОДЗ: х>0

ј log2х+Ѕ log2х+ log2х=7

7/4 log2х=7

log2х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.


Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма.

Пример 19

Решите уравнение  log2 (х +1)  -  log2 (х -2 ) = 2.

ОДЗ:

х+1>0;

х-2>0.  х>1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем  log2 = 2, откуда следует  = 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 - верно

Ответ: х = 3.


Уравнения, решаемые введением новой переменной. 

Пример 20  Решите уравнение  lg2х - 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х>0.

Пусть lgх = р, тогда р2-6р+5=0.

р1=1, р2=5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1,  lgх =5

х=10, 10>0 – верно  х=100000, 100000>0 – верно

Ответ: 10, 100000


Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.

Пример 21  Решите уравнение log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

ОДЗ:

2х-1>0;

  х >0.  х>Ѕ.

log4(2х-1)∙ log4х - 2 log4(2х-1)=0

log4(2х-1)∙(log4х-2)=0

log4(2х-1)=0  или  log4х-2=0

2х-1=1  log4х = 2

х=1  х=16

1;16 – принадлежат ОДЗ

Ответ: 1;16


Функционально – графический метод.

Пример 22  Решите уравнения:  log3 х = 12-х.

Так как функция у= log3 х возрастающая, а функция у =12-х убывающая на (0; + ∞ ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7