Цели автоматизации (стр. 3 )

На рис.  представлено типичное изображение спектра непериодического сигнала. Заметим, что временная функция имеет преобразование Фурье тогда и только тогда, когда: функция однозначна, содержит конечное число максимумов, минимумов и разрывов;  функция абсолютно интегрируема.

Поэтому нет спектра единичной ступенчатой функции импульсной функции и ряда других важных функций.

Из-за этих ограничений чаще  используют преобразование с более сложной переменной  S = ? + j?. Во первых это комплексная переменная, во вторых  S  включает в себя действительную переменную  ? и мнимую частотную составляющую j?.  ? - угловая частота.  Соотношение

называют прямым преобразованием Лапласа.  Операция определения изображения по оригиналу сокращенно записывается - , где - символ прямого преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа обратимо, то есть, зная изображение по Лапласу, можно определить оригинал, используя соотношение обратного преобразования

или , где - символ обратного преобразования Лапласа.

Для дифференциального уравнения порядка n

преобразование Лапласа будет иметь вид:

где Y(s) и U(s) преобразование Лапласа функций Y(t)  и U(t).  Это алгебраическое уравнение и работать  с ним требуется  методами линейной алгебры с учетом того что это комплексные  выражения т. к.  S = ? + j?. Начальные значения предполагаются нулевыми. Переход от одной модели к другой прост и заключается в замене знаков дифференциалов  на операторы s, знаков интегралов  на множители, а самих u(t) и y(t) - изображениями U(s) и Y(s). 

       Связь между  выходными Хвых = Y и управляющими (входными) Хвх = U величинами линейной системы выражается передаточной функцией W(s) , которая есть отношение между изображениями  Лапласа выхода и управления. 

W(s) = Хвых/Хвх =  . 

Практически любые функции времени в Теории Автоматического Управления  имеют преобразование Лапласа. На практике для выполнения прямого и обратного преобразований Лапласа используются таблицы преобразований, фрагмент которой показан в таблице. Все исходные функции – есть функции  времени.

Таблица 1.

	1

Для преобразований Фурье и Лапласа справедливы следующие правила:

Линейность:  Если складываются две частотные функции, то можно складывать две обратные им функции во времени. Чтобы продифференцировать частотную функцию, полученную преобразованием Лапласа, нужно умножить ее на комплексную переменную S. Для получения второй производной нужно еще раз умножить на эту же комплексную переменную S. И так далее. Для получения интеграла  частотной функции нужно разделить ее на комплексную переменную S.
Передаточные функции.

Напоминаем, что отношение изображений выходного и входного сигналов исследуемого объекта называют передаточной функцией динамического звена

.  (4.1)

Суть передаточной функция связана с понятием импульсной функции. Импульсной характеристикой  динамического звена называют реакцию звена на импульсное воздействие , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид

Рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией после преобразования Лапласа.. На входе дельта функция  ,  ее значение по Лапласу рано 1.

Имеем:

Таким образом, получаем что

передаточная функция звена – это изображение по Лапласу импульсной характеристики динамического звена (т. е. выхода с объекта при подаче импульсного сигнала). Это комплексная величина т. к. есть мнимая часть j?.

В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по передаточной функции

.

3.3 Частотные характеристики:

Функция комплексной частотной  переменной представляется  как  сумма действительной и мнимой частей для каждой частоты  в следующем виде –

Здесь: модуль,

– действительная (вещественная) часть,

– мнимая часть.  Еще раз отметим, что – модуль (амплитуда) передаточной функции 

– фаза аргумент  ? .

Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части частотной характеристики являются функциями частоты, и представляется графически частотная характеристика. в виде частотных характеристик.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая определяется как годограф (след движения конца) вектора , построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до . Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) –  Фазочастотная характеристика (ФЧХ) –  .

  4.Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) –  .

  5. Мнимая частотная характеристика (МЧХ) –  .

Эти формулы и графики передаточной  функции представляют собой полное математическое описание объекта управления и используются для исследования и синтеза систем управления.

Описание объекта управления. Моделирование технологических процессов и систем управления. 

При анализе начинать нужно с описания объекта управления. Стратегия управления базируется на понимании, как физический процесс реагирует на входной сигнал. Если есть модель из линейных дифференциальных уравнений, то можно  получить решение из  этой системы. Обычно готовых моделей нет. Тогда нужно проводить эксперименты, подавая разные типы входных сигналов.  Базой для получения характеристик объекта управления является обработка реакции и изменений объекта при подаче на него стандартных воздействий.