Цели автоматизации (стр. 4 )

Входные воздействия переменные во времени, и реакции объекта управления  (переходные характеристики) также будут функциями времени. Они различны для разных видов воздействий. Для простоты анализа систем входные воздействия приводят к одному из типовых видов сигналов (см. рис 2.4).

4.1 При подаче на вход объекта синусоидального сигнала на выходе, как правило, в установившемся режиме получается также синусоидальный сигнал, но с другой амплитудой и фазой:  y = Aвых*sin(?*t + ?), где Aвых - амплитуда, ? - частота сигнала, ? - фаза. Эти пользуются при описании технологического звена.

Простой алгоритм экспериментального определения частотных характеристик линейного динамического звена, объекта или системы управления

Подать на вход объекта синусоидальный сигнал частоты и постоянной амплитуды. Дождаться затухания свободной составляющей переходного процесса. Измерить амплитуду выходного сигнала и сдвиг его по фазе относительно входного сигнала. Отношение амплитуды выходного установившегося сигнала к амплитуде входного сигнала определит модуль частотной характеристики при частоте .  Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного сигнала определит угол (аргумент) частотной характеристики при частоте . Умножение значения модуля на cos(угла) даст значение вещественной части характеристики, а умножение значения модуля sin(угла) даст значение мнимой части характеристики.

Применяя данный алгоритм для частот от нуля до бесконечности, можно экспериментальным путем определить частотную характеристику конкретного устройства. Затем строим все типы частотных характеристик и получаем математическое описание объекта.        Частотные характеристики  показывают, во сколько раз объект (динамическое звено или устройство), работающее в установившемся режиме, изменяет амплитуду входной синусоиды частоты , и на какой угол сдвигает входную синусоиду по фазе.

Способ моделирования с использованием типового апериодического звена:

Апериодическое звено первого порядка —  звено, которое можно описать дифференциальным уравнением:

.

К стандартному виду приводится делением на правой и левой части уравнения:

, где:

— выходная величина;  — входная величина; — коэффициент усиления звена;  — постоянная времени, характеризующая инерционность звена. Чем больше постоянная времени, тем дольше длится переходный процесс.

Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка получается путем применения к дифференциальному уравнению преобразования Лапласа:

,

.

Комплексная передаточная функция получается при подстановки вместо переменой . Чтобы разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число :

Обратное преобразование Лапласа апериодического звена дает следующие выражения для временных характеристик: импульсная функция -

,

Переходная характеристика h(t) (т. е. реакция на единичное ступенчатое  воздействие):

,

.

Частотные  характеристики представлены ниже.  Следует обратить внимание на то, что точки  перегиба этих кривых связаны со значением величины Т. Особенно заметно это на годографе мнимой частотной характеристике (МЧХ).

.

В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, грубо, можно описать апериодическим звеном 1-го порядка. Это верно  т. к. много законов физики описываются этими уравнениями. Например:

1. При движении твердого тела в жидкой или газообразной среде на него действует сила сопротивления (или вязкого трения). При таком режиме движения второй закон Ньютона записывается в виде следующего дифференциального уравнения:

2. Для ‘электрической RLC  цепочки получаем следующее дифференциальное уравнение:

3 Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость изменения температуры тела, т. е. производная dT/dt  , пропорциональна разности температур тела и окружающей среды - dT/dt = T – a, где а - const.

4 Скорость радиоактивного распада (количество ежесекундно испускаемых частиц, равное числу ежесекундно распадающихся ядер) прямо пропорциональна только наличному в данный момент количеству радиоактивных ядер.
dN/dt = - ?N(t). (где: N(t),см-3 - ядерная концентрация радиоактивных ядер в рассматри­ваемый момент времени t; dN/dt, см-3с-1 –  коли­чество распадающихся в 1 см3 ядер за 1 с (в данный момент времени);

Можно значительно продолжить этот список математического выражения законов физики и соответственно технологических процессов, которые их реализуют.

4.3.1  Пример идентификации апериодического объекта по переходной кривой

Так как объект в первом приближении описывается апериодическим звеном, рассмотрим обработку переходной характеристики такого объекта. Переходной характеристикой h(t) называется реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие (сигнал) при нулевых начальных условиях, т. е. при х(0) = 0 и у(0) = 0. 

Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе, называется идентификацией объекта.

       Предположим, что при подаче на вход некоторого объекта ступенчатого воздействия была получена переходная характеристика (см. рисунок 1.31). Требуется определить  параметры передаточной функции.

       Передаточная функция  апериодического  звена имеет вид

(инерционное звено с запаздыванием).

       Параметры передаточной функции: К - коэффициент усиления, Т - постоянная времени, ? - запаздывание. Они определяются из характеристик кривой разгона  рисунка 1.31

Коэффициентом усиления  К называется величина, показывающая, во сколько раз данное звено усиливает входной сигнал (в установившемся режиме), и равная отношению выходной величины у  ко входной величине х:  ,  Установившееся значение величины ууст - это значение у при t > ?.

Постоянная времени Т - Для рассматриваемой передаточной функции 1-го порядка Т определяется просто: сначала проводится касательная к точке перегиба, затем находятся точки пересечения с осью времени и асимптотой yуст; время Т определяется как интервал времени между этими точками. Запаздыванием ? называется промежуток времени от момента изменения входной величины х до начала изменения выходной величины у. 

Передаточная функция звена запаздывания: W(s) = e - ? s.

4.3 Типы процессов – реакций на воздействия:

Статические процессы, у которых имеется однозначная зависимость между входным и выходным состояние статики. Примером является любой тепловой объект. Например, если на вход нагревателя подать некоторое постоянный тепловой поток, то с течением времени его температура установится на повышенном значении.  При этом установившаяся температура будет зависеть от величины поданного напряжения. астатические - у которых эта зависимость отсутствует. То есть, при постоянном входном воздействии амплитуда сигнала на выходе непрерывно растет с постоянной скоростью, ускорением и т. д. Пример: Зависимость угла поворота ротора электродвигателя от приложенного напряжения. При подаче напряжения угол поворота будет постоянно возрастать, поэтому однозначной зависимости у него нет (пример см. на рисунке 1.8, б).

4.4  Критерии устойчивости