Лекция 3. Независимость случайных величин. Формула композиции
Лекция 4. Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины как интеграл Лебега по вероятностной мере. Формула замены переменных в интеграле Лебега. Неравенства, связанные с математическим ожиданием
Лекция 5. Теорема Радона-Никодима. Теорема Фубини. Условные вероятности и условные математические ожидания относительно разбиений и σ-алгебр. Свойства. Теоремы о переходах к пределу под знаком условных математических ожиданий
Теорема Радона-Никодима. Пусть 
— пространство с мерой и мера м у-конечна. Тогда если мера 
абсолютно непрерывна относительно м 
, то существует измеримая функция 
, такая что
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Свойства
Пусть 
— у-конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве 
. Тогда если 
и 
, то
Пусть 
. Тогда 
выполнено л-почти всюду.
Пусть 
и 
— измеримая функция, интегрируемая относительно меры м, то
Пусть 
и 
. Тогда
Пусть н — заряд. Тогда
Будем считать, что дано вероятностное пространство 
. Пусть 
— интегрируемая случайная величина, то есть 
. Пусть также 
— у-подалгебра у-алгебры 
.
Условное математическое ожидание относительно у-алгебры
Случайная величина 
называется условным математическим ожиданием X относительно у-алгебры 
, если
- измерима относительно
. 
,
где 
- индикатор события A. Условное математическое ожидание обозначается 
.
Пример. Пусть 
Положим 
. Тогда 
- у-алгебра, и 
. Пусть случайная величина X имеет вид
.
Тогда
Условное математическое ожидание относительно семейства событий
Пусть 
- произвольное семейство событий. Тогда условным математическим ожиданием X относительно 
называется
,
где 
- минимальная сигма-алгебра, содержащая 
.
Пример. Пусть 
Пусть также C = {1,2,3}. Тогда 
. Пусть случайная величина X имеет вид
.
Тогда
Условное математическое ожидание относительно случайной величины
Пусть 
другая случайная величина. Тогда условным математическим ожиданием X относительно Y называется
,
где у(Y) - у-алгебра, порождённая случайной величиной Y.
Другое определение УМО X относительно Y:
Такое определение конструктивно описывает алгоритм нахождения УМО:
- найти математическое ожидание случайной величины X, принимая Y за константу y;
- затем в полученном выражении y обратно заменить на случайную величину Y.
Пример: 
Лекция 6. Законы «нуля или единицы». Сходимость рядов. Усиленный закон больших чисел. Закон повторного логарифма
Закон нуля или единицы — утверждение в теории вероятностей о том, что всякое остаточное событие, то есть событие, наступление которого определяется лишь сколь угодно удалёнными элементами последовательности независимых случайных событий или случайных величин, имеет вероятность нуль или единица. Закон открыт Андреем Николаевичем Колмогоровым, поэтому иногда называется в его честь.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
