Учебно-методический комплекс дисциплины «Основы теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов» (стр. 4 )

Методы нахождения оценок.

Лекция 9. Критерии согласия Колмогорова и К. Пирсона.  Параметрические и непараметрические гипотезы. Сложные гипотезы. Критерий отношения правдоподобия

Критерий Пирсона, или критерий чІ (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H0 о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F(x). Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического F * (x) и теоретического распределений производится с помощью специального правила — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.

Лекция 10. Основы теории случайных процессов. Основные понятия общей и корреляционной теории случайных процессов

Лекция 11. Теорема Колмогорова о конечномерных распределениях. Сходимости. Непрерывности. Производные. Интегралы

Лекция 12. Стохастические интегралы от неслучайных функции. Стационарные (в широком и узком смыслах) процессы. Теорема Бохнера-Хинчина. Спектральное разложение стационарного процесса

Стационарный случайный процесс, важный специальный класс случайных процессов, часто встречающийся в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Случайный процесс X (t) называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени t (так что, например, распределение вероятностей величины X (t) при всех t является одним и тем же, а совместное распределение вероятностей величин X (t1) и X (t2) зависит только от продолжительности промежутка времени t2—t1, т. е. распределения пар величин {X (t1), X (t2)} и {X (t1 + s), X (t2 + s)} одинаковы при любых t1, t2 и s и т. д.).

Стационарный случайный процесс с хорошим приближением описывает многие реальные явления, сопровождающиеся неупорядоченными флуктуациями. Так, например, пульсации силы тока или напряжения в электрической цепи (электрический «шум») можно рассматривать как Стационарный случайный процесс, если цепь эта находится в стационарном режиме, т. е. если все её макроскопические характеристики и все условия, вызывающие протекание через неё тока, не меняются во времени; пульсации скорости в точке турбулентного течения представляют собой Стационарный случайный процесс, если не меняются общие условия, порождающие рассматриваемое течение (т. е. течение является установившимся), и т. д. Эти и другие примеры Стационарный случайный процесс, встречающиеся в физике (в частности, гео - и астрофизике), механике и технике, стимулировали развитие исследований в области Стационарный случайный процесс; при этом существенными оказались также и некоторые обобщения понятия Стационарный случайный процесс (например, понятия случайного процесса со стационарными приращениями заданного порядка, обобщённого Стационарный случайный процесс и однородного случайного поля).

В математической теории Стационарный случайный процесс основную роль играют моменты распределении вероятностей значений процесса X (t), являющиеся простейшими числовыми характеристиками этих распределений. Особенно важны моменты первых двух порядков: среднее значение Стационарный случайный процесс EX (t) = m — математическое ожидание случайной величины X (t) и корреляционная функция Стационарный случайный процесс EX (t1) X (t2)= B (t2—t1) — математическое ожидание произведения X (t1) X (t2) (просто выражающееся через дисперсию величин X (t) и коэффициент корреляции между X (t1) и X (t2); см. Корреляция). Во многих математических исследованиях, посвященных Стационарный случайный процесс, вообще изучаются только те их свойства, которые полностью определяются одними лишь характеристиками m и В (t) (т. н. корреляционная теория Стационарный случайный процесс). В этой связи случайные процессы X (t), имеющие постоянное среднее значение EX (t) = m и корреляционную функцию В (t2, t1) = EX (t1) X (t2), зависящую только от t2 — t1, часто называют Стационарный случайный процесс в широком смысле (а более частные случайные процессы, все характеристики которых не меняются с течением времени, в таком случае называются Стационарный случайный процесс в узком смысле).