Пусть дано вероятностное пространство и определённая на нём последовательность независимых случайных величин (не обязательно одинаково распределённых). Пусть — её остаточная у-алгебра, то есть

где есть у-алгебра, порождённая случайной величиной Xn.

Тогда если , то или .

Другими словами, A — остаточное событие, если оно измеримо относительно у-алгебры, порождённой случайными величинами , но независимо от любого конечного подмножества этих величин. Согласно теореме, такое событие имеет вероятность ноль или единица.

Пример

Пусть — последовательность независимых случайных величин. Тогда ряд

сходится или расходится почти наверное, поскольку никакое конечное подмножество членов ряда не может изменить его сходимость. Если же все члены ряда считать положительными, то событие «ряд сходится к величине, меньшей 1» не является остаточным, так как оно зависит от величины первого члена ряда.

Лекция 7. Выборки и техника работы с ними. Выборочные характеристики. Статистические оценки и общие требования к ним

Пусть выборка задана вариационным рядом

    . . . , где

. . .

Выборочным средним называется величина

Выборочная дисперсия а корень квадратный

из выборочной дисперсии называется выборочным средним квадратическим отклонением

Выборочные начальные и центральные моменты порядка s определяются соответственно формулами:

Модой  называется вариант, наиболее часто встречающийся в данном вариационном ряду.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Медианой  называется вариант такой, что и Медиана обладает тем свойством, что сумма абсолютных величин отклонений вариантов от медианы меньше, чем от любой другой величины (в том числе и от выборочной средней).

Важность эмпирических характеристик заключается в том, что они близки (при достаточно большом ) к соответствующим теоретическим значениям. Поскольку выборочные характеристики являются случайными величинами, а теоретические - числа, то близость понимается в смысле сходимости по вероятностям.

Статистическая оценка - некоторая функция от результатов наблюдений, предназначенная для статистического оценивания неизвестных характеристик и параметров распределения вероятностей. Выделяется случай, когда распределение вероятностей принадлежит какому-либо известному семейству, зависящему от конечного числа параметров. О методах непосредственной С. о. функциональных характеристик распределения вероятностей, например, неизвестной функции распределения или его плотности, см. "Непараметрические методы математической статистики". Напр., если результаты наблюдений X1, ..., Xn - независимые случайные величины, имеющие одно и то же нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием a, то выборочное среднее - среднее арифметическое результатов наблюдений -

,

и выборочная медиана

Meнабл = x(m), где m=(n+1)/2 при нечетном n,

Meнабл = (x(m)+x(m+1))/2, где m=n/2 при четном n,

где X(m) - элементы вариационного ряда, соответствующего результатам наблюдений X1, ..., Xn, являются С. о. неизвестного параметра a. о., приводящие в конкретном случае к числовому значению параметра, называются  точечными.

Лекция 8. Несмещенные оценки с минимальной дисперсией. Методы нахождения оценок. Интервальное оценивание. Понятие статистической гипотезы. Статистические критерии

Точечные оценки неизвестных параметров распределения. Свойства точечных оценок.

Оценки параметров распределения бывают точечные и интервальные.

Пусть – выборка объема “n”  (1)

Функцию выборки (1) называют статистикой.

Предположим, что нужно оценить неизвестный параметр изучаемой случайной величины .

Статистику , значения которой близки к оцениваемому параметру , называют точечной оценкой параметра .

При оценка должна приближаться к параметру .

Оценка  – случайная величина, поэтому мы не можем потребовать, чтобы оценка стремилась к в обычном смысле.

Оценка называется состоятельной, если при в вероятностном смысле стремится к .

– обычная сходимость.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6