Большое место в математической теории Стационарный случайный процесс занимают исследования, опирающиеся на разложение случайного процесса X (t) и его корреляционной функции B (t2 —t1) = В (t) в интеграл Фурье, или Фурье — Стилтьеса (см. Фурье интеграл). Основную роль при этом играет теорема Хинчина, согласно которой корреляционная функция Стационарный случайный процесс X (t) всегда может быть представлена в виде

, (1)

где F (l) — монотонно неубывающая функция l (а интеграл справа — это интеграл Стилтьеса); если же В (t) достаточно быстро убывает при |t|®Ґ (как это чаще всего и бывает в приложениях при условии, что под X (t) понимается на самом деле разность X (t) — m), то интеграл в правой части (1) обращается в обычный интеграл Фурье:

, (2)

где f (l) = F’(l) — неотрицательная функция. Функция F (l) называемая спектральной функцией Стационарный случайный процесс X (t), а функция F (l) [в случаях, когда имеет место равенство (2)] — его спектральной плотностью. Из теоремы Хинчина вытекает также, что сам процесс X (t) допускает спектральное разложение вида

, (3)

где Z (l) — случайная функция с некоррелированными приращениями, а интеграл справа понимается как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности интегральных сумм. Разложение (3) даёт основание рассматривать любой Стационарный случайный процесс X (t) как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и фазами; при этом спектральная функция F (l) и спектральная плотность f (l) определяют распределение средней энергии входящих в состав X (t) гармонических колебаний по спектру частот l (в связи с чем в прикладных исследованиях функция f (l) часто называется также энергетическим спектром или спектром мощности Стационарный случайный процесс X (t)).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Лекция 13. Линейные преобразования стационарных процессов. Марковские процессы и марковские семейства

При решении многих практических задач радиотехники приходится определять характеристики случайного процесса на выходе линейной системы. Линейная система осуществляет линейные операции над входным случайным процессом. Это значит, что если на вход системы поступает случайный процесс X(t), то на выходе этот процесс преобразуется в случайный процесс

Y(t) = A [X(t)],

где А – оператор (преобразование), обладающий свойствами:

A [α1X1(t) + α2X2(t)] = α1 A [X1(t)] + α2[X2(t)].

Здесь постоянные величины.

Примеры линейных операторов

Оператор умножения на неслучайную функцию f(t):

Y(t) = A [X(t)] = f(t) X(t).

Определим математическое ожидание и автокорреляционную функцию случайного процесса Y(t):

my(t) = M(Y(t)) = M(f(t) X(t)) = f(t) M(X(t)),

Оператор дифференцирования:

Представив производную в виде предела

и применив операцию математического ожидания к правой и левой части равенства, получаем

Так как , то

Оператор интегрирования:

Представим интеграл в виде интегральной суммы

 

и применим к этому равенству операцию математического ожидания. Тогда имеем

Автокорреляционная функция случайного процесса легко определяется:

Марковский случайный процесс.

Лекция 14. Различные формы марковского свойства. Операторы, связанные с марковскими семействами. Однородные марковские семейства

Лекция 15. Инфинитезимальные операторы и марковские процессы. Мартингалы. Субмартингалы. Супермартингалы. Связанные с ними равенства и неравенства. Теоремы сходимости

3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Практическое занятие 1. Аксиомы теории вероятностей. Общее вероятностное пространство

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6