Рабочая программа дисциплины (модуля) Вычислительная математика (стр. 5 )

А) Идея: последовательное исключение неизвестных. Решение системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда невырожденная матрица коэффициентов А раскладывается на произведение лево - и правотреугольных матриц; 2) обратный ход, когда полученные коэффициенты при неизвестных и правые части уравнений используются при нахождении неизвестных из систем треугольного вида.

Б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквивалентному виду. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению.

В) Если матрица коэффициентов невырожденная (определитель этой матрицы не равен нулю), то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть  получены по формулам , и определители матриц и  соответственно. Матрица образуется из матрицы путем замены ее -го столбца столбцом свободных членов.

Решение системы линейных алгебраических уравнении (СЛАУ) специального вида методом прогонки.

А) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Исходная система уравнений приводится к  виду .  Числа , называемые прогоночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом ходе. При осуществлении обратного хода определяется , а затем вычисляются значения , последовательно применяя рекуррентные формулы .

Б) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с разреженной матрицей коэффициентов. Если определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам , где и – определители матриц и соответственно. Матрица образуется из путем замены ее -го столбца столбцом свободных членов.

В) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с апериодической матрицей коэффициентов. Исходная система заменяется эквивалентной. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неограниченно приближающихся к точному решению.

Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?

А) Данное правило разработано и применимо лишь для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с трехдиагональной матрицей коэффициентов.

Б) Реализация данного метода в виде вычислительной процедуры требует выполнения значительного количества арифметических операций и соответственно больших затрат машинного времени. Кроме того, он очень чувствителен к ошибкам округления.

В) Данный метод дает менее точные результаты, чем другие методы решения СЛАУ. При этом требуется выполнение жестких достаточных условий сходимости.

В чем отличие метода Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений от метода простой итерации?

А) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Зейделя исключается не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т. е. наибольший по модулю элемент.

Б) Отличие в том, что на очередном -ом шаге реализации метода Зейделя исключается коэффициент при неизвестном , называемый главным элементом на -ом шаге исключения. Тем самым система линейных алгебраических уравнений приводится к треугольному виду.

В) Отличие в том, что при вычислении -го приближения неизвестного при используются уже вычисленные ранее -е приближения неизвестных .

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простой итерации.

А) Исходная СЛАУ записывается в виде, разрешенном относительно неизвестных; при этом неизвестные появляются и в правой части. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неограниченно приближающихся к точному решению. Точное решение системы получается лишь в результате бесконечного итерационного процесса и всякий вектор из полученной последовательности является приближенным решением.

Б) Если определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам , где и – определители матриц и соответственно. Матрица образуется из путем замены ее -го столбца столбцом свободных членов.

В) Метод простой итерации разработан для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Исходная система уравнений приводится к  виду .  Числа , называемые прогоночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом ходе. При осуществлении обратного хода определяется , а затем вычисляются значения , последовательно применяя рекуррентные формулы .

Евклидова норма матрицы определяется:

А)

Б)

В)

Г)

Для СЛАУ, заданной формулой , обратный ход метода Гаусса (последовательного исключения неизвестных) определяется формулой:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

ДЕ-3. Численные методы решения нелинейных скалярных уравнений

Для достижения точности применяют следующий критерий окончания метода дихотомии: