Свойства параллельных прямых в пространстве (стр. 4 )

Треугольник изображается треугольником.

Четырехугольник – четырехугольником, точка пересечения диагоналей которого делит диагонали в том же отношении, что и у оригинала.

Поэтому прямоугольник, квадрат, ромб и параллелограмм изображаются параллелограммом.

Трапеция изображается трапецией, отношение оснований которой совпадает с отношением оснований оригинала.

Произвольный n – угольник изображается n – угольником. Рассмотрим пятиугольник ABCDE плоскости a, который изображается пятиугольником A1B1C1D1E1 плоскости b. Треугольник ABC изображается произвольным треугольником A1B1C1, а точки D1E1

строятся следующими образом: точки пересечения диагонали A1C1 с диагоналями B1E1 и B1D1делит их в том же отношении, что и у оригинала.

Так как эллипс и окружности аффинно эквивалентны, то окружность изображается эллипсом, а ее перпендикулярные диаметры – сопряженными диаметрами эллипс, а центр - центром.

Теорема Польке – Шварца. Вершины любого четырехугольника A1B1C1D1 плоскости b, заданные в определенном порядке служат изображением аффинного репера, равного данному R(A, B,C, D).

Задание. С учебника стр.52-53 № 000-206

Домашняя работа: С учебника стр 52-53 № 000-209

Контрольные вопросы:

Что такое параллельное проектирование? Какими свойствами обладает параллельное проектирование? Как вычисляется площадь ортогональной проекции многоугольника?

Задание СРС: Постройте изображение знакомых вам многоугольников.

Глоссарий

№	Русский	Казахский	Английский	Примечания
1	Изображение	Бейне	Picture
2	Пространственные фигуры	Кеңістік фигуралры	Three-dimensional shapes
3	Параллельное проектирование	Параллель бейнелеу	concurrent engineering
4	Свойство	Қасиет	Property
5	Проекция	Проекция	Projection
6	Ортоганальная проекция	Ортоганальды проекция	Ortoganalnaya projection
7	Площадь	Аудан	Area
8	Направление	Бағыт	Direction
9	Луч	Сәуле	Ray
10	Проектирующая плоскость	Проектілеу жазықтығы	projecting plane

Тема: Изображение пространственных фигур на плоскости.

Историческая справка о проективной геометрии, параллельном проецировании.

Параллельная проекция всем хорошо знакома. Солнце находится от нас так далеко, что его лучи в любой момент времени можно считать практически параллельными. Поэтому тень от любого предмета на дороге или стене дома представляет собой проекцию этого предмета на плоскость дороги или стены параллельно лучам солнца.

Так какие же свойства фигур сохраняются при параллельном проецировании?

А какие не сохраняются?

При параллельном проецировании сохраняются следующие свойства фигур:

Свойство фигуры быть точкой, прямой и плоскостью. Свойство фигур иметь пересечение. Деление отрезка в данном отношении. Параллельность прямых и плоскостей. Свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией. Отношение длин параллельных отрезков. Отношение площадей двух фигур.

При параллельном проецировании не сохраняются следующие свойства фигур:

Свойство прямых и плоскостей образовывать между собой углы определенной градусной меры (в частности быть взаимно перпендикулярными). Отношение длин не параллельных отрезков. Отношение величин углов между прямыми (в частности, свойство луча быть биссектрисой угла).

Проекция точки есть точка. Проекция прямой есть прямая (рис.3). Проекция отрезка есть отрезок (рис.4). Проекции параллельных отрезков – параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой (рис.5). Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам (рис.6).

Теперь выясним как изображаются фигуры в аксонометрической проекции. По рисунку  попробуйте сформулировать алгоритм построения произвольной плоской фигуры с помощью параллельного проектирования.

А теперь поговорим об изображении определённых плоских фигур.

Изображение отрезка

Произвольный отрезок на чертеже можно считать изображением данного отрезка.

Изображение треугольника

В качестве изображения данного треугольника на чертеже можно брать произвольный треугольник (рис.8).

Изображением равнобедренного и прямоугольного треугольников может служить разносторонний треугольник (рис.9).

Изображение параллелограмма

Изображением данного параллелограмма можно считать произвольный параллелограмм (рис.10).

В частности изображением прямоугольника, ромба и квадрата будет параллелограмм.

Изображение трапеции

Изображением трапеции является трапеция, у которой основания пропорциональны основаниям самой трапеции (рис. 11).

Изображением равнобедренной трапеции может быть и неравнобедренная трапеция.

Изображение окружности

Параллельной проекцией окружности является эллипс (рис.12).

Эллипс используют при изображении на плоскости цилиндров, конусов, усечённых конусов и сфер.

6. Практическое применение теоретических знаний. Решение задач

Следующим шагом в нашей работе будет этап решения задач, лежащих в основе правильного изображения пространственных фигур в параллельной проекции. (Для решения задач используются возможности интерактивной доски. Текст всех задач лежит на столах учащихся).

Задача 1. Треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника A1B1C1. В треугольнике A1B1C1 проведены из вершины A1 биссектриса, медиана и высота. Будут ли проекции этих отрезков соответственно биссектрисой, медианой и высотой?

Задача 2. Построить изображение правильного треугольника и изображение высоты и биссектрисы угла А (решение на рис.13 и рис.14).

Задача 3. Треугольник ABC – параллельная проекция правильного треугольника. Построить проекцию серединного перпендикуляра к стороне АС. Построить проекцию перпендикуляра, проведенного из вершины С к стороне АС.

Задача 4. Трапеция ABCD – параллельная проекция равнобедренной трапеции. Построить ось симметрии и высоту данной трапеции (решение на рис.15 и рис.16).

Задача 5. Дана параллельная проекция ромба. Построить параллельную проекцию прямых, проведённых через середину стороны перпендикулярно диагоналям (решение на рис.17 и рис.18).

Задача 6. Начертите параллельную проекцию ромба, имеющего угол в 60°. Постройте изображение высоты этого ромба, проведенной: а) из вершины острого угла; б) из вершины тупого угла.

Задание. С учебника стр.53-54 № 000-219

Домашняя работа:

Построить с помощью параллельной проекции: а) изображение правильного шестиугольника; б) изображение правильного восьмиугольника.

Дан произвольный треугольник. Считая его изображением прямоугольного треугольника, начертить изображение квадратов, построенных на катетах и гипотенузе.

Контрольные вопросы:

Что называется параллельной проекцией точки, отрезка, треугольника, окружности? Какие величины не изменяются при параллельном проецировании? (длина отрезка, градусная мера углов, отношения длин отрезков). Может ли при параллельном проецировании параллелограмма получиться трапеция и наоборот?

Задание СРС: Постройте изображение знакомых вам многоугольников.

Глоссарий

№	Русский	Казахский	Английский	Примечания
1	Изображение	Бейне	Picture
2	Пространственные фигуры	Кеңістік фигуралры	Three-dimensional shapes
3	Параллельное проектирование	Параллель бейнелеу	concurrent engineering
4	Свойство	Қасиет	Property
5	Проекция	Проекция	Projection
6	Ортоганальная проекция	Ортоганальды проекция	Ortoganalnaya projection
7	Площадь	Аудан	Area
8	Направление	Бағыт	Direction
9	Луч	Сәуле	Ray
10	Проектирующая плоскость	Проектілеу жазықтығы	projecting plane

Тема: Построение сечений призм и пирамид плоскостью.