Свойства параллельных прямых в пространстве (стр. 6 )

Комбинированный метод

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.
Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q.
1. Точки P и R лежат в одной плоскости, проведём прямую PR.
2. Прямая PR лежит в плоскости AA’B’B, точка Q лежит в плоскости DD’C’C, параллельной AA’B’B.
3. Проведём через точку Q прямую параллельную прямой PR, получим точку K
^ Почему мы уверены, что все делаем правильно?
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны
4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L.
5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK
6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF.
7.

Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости BB’C’C, параллельной плоскости AA’D’D.
8. Проведём прямую параллельную прямой RF, через точку Q, получим точку M.
9. Проведем PM
10. Полученный шестиугольник является искомым сечением.

Почему мы уверены, что все делаем правильно?
Аксиома: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
^ Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Теорема: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Задание № 4
Постройте сечение куба, по трем данным точкам, а потом проверьте себя, кликнув по этому рисунку

Задача №5 ( для самостоятельного решения).

Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.5)).

Задание 4. С учебника стр.53-54 № 000-219

Домашняя работа:

Построить с помощью параллельной проекции: а) изображение правильного шестиугольника; б) изображение правильного восьмиугольника.

Дан произвольный треугольник. Считая его изображением прямоугольного треугольника, начертить изображение квадратов, построенных на катетах и гипотенузе.

Контрольные вопросы:

1. Что называется параллельной проекцией точки, отрезка, треугольника, окружности?

2. Какие величины не изменяются при параллельном проецировании? (длина отрезка, градусная мера углов, отношения длин отрезков).

3. Может ли при параллельном проецировании параллелограмма получиться трапеция и наоборот?

Задание СРС: Постройте изображение знакомых вам многоугольников.

Глоссарий

№	Русский	Казахский	Английский	Примечания
1	Изображение	Бейне	Picture
2	Пространственные фигуры	Кеңістік фигуралры	Three-dimensional shapes
3	Параллельное проектирование	Параллель бейнелеу	concurrent engineering
4	Свойство	Қасиет	Property
5	Проекция	Проекция	Projection
6	Ортоганальная проекция	Ортоганальды проекция	Ortoganalnaya projection
7	Площадь	Аудан	Area
8	Направление	Бағыт	Direction
9	Луч	Сәуле	Ray
10	Проектирующая плоскость	Проектілеу жазықтығы	projecting plane

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен90°.

В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые, так как мы говорим об угле, который могут образовать эти прямые, если их поместить в одной плоскости.

Так же как и в плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые a и b обозначают a⊥b.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая перпендикулярна к этой прямой.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается как a⊥б.

Через любую точку пространства проходит прямая перпендикулярно данной плоскости, притом только одна.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Задания. С учебника стр.32-33 № 000-119

Домашняя работа:  С учебника стр.32-33 № 000-122

Контрольные вопросы:

Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость? Какую точку называем основанием перпендикуляра? Что нужно понимать под расстоянием между: а) точкой и прямой; б) фигурами; в) параллельными плоскостями; г) прямой и плоскостью? Что такое линейный угол двухгранного угла?

Задание СРС: Из двух листов плотной бумаги сделайте модель взаимно перпендикулярных плоскостей

Глоссарий

№	Русский	Казахский	Английский	Примечания
1	Угол	Бұрыш	Angle
2	Двугранные углы	Екі жақты бұрыш	The dihedral angles
3	Проекция	Болжам	Projection
4	Линейный угол	Сызықтық бұрыш	Linear angle
5	Перпендикулярность	Перпендикулярлы	perpendicularity
6	Ребро	Қабырға	Edge
7	Прямая	Түзу	Straight
8	Плоскость	Жазықтық	Plane
9	Наклонная	Көлбеу	Inclined
10	Пересечение	Қиылысу	intersection

Тема:  Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

Теорема 1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Доказательство. Пусть а1 и а2 — две параллельные прямые и — плоскость, перпендикулярная прямой а1 (рис. 358). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2.

Проведем через точку A2 пересечения прямой а2 с плоскостью произвольную прямую x2 в плоскости . Проведем в плоскости через точку А пересечения прямой а с прямую х1, параллельную прямой х2. Так как прямая а, перпендикулярна плоскости , то прямые а и х перпендикулярны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а, перпендикулярна любой прямой х, в плоскости . А это значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.

Задача1. Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости .

Решение. Проведем в плоскости две пересекающиеся прямые b и с (рис. 359). Через точку их пересечения проведем плоскости и , перпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит, и плоскости . Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 17.3 она перпендикулярна плоскости .