Примеры решения задач Постоянный ток. Электромагнетизм (стр. 2 )

Заряд в конденсаторе связан с электроемкостью соотношением:

С =   или  q = CU.                                (4)

Тогда, подставив (4) в выражение (3), получим:

Δq = C2U – C1U = U(C2 – C1) = U(5C1 – C1) = 4C1U.

А выражение (1) для энергии примет вид:

W = I2RΔt = .                                (5)

Из уравнения (5) найдем время, в течение которого длилось увеличение емкости конденсатора 

Δt = .

Δt = = 10 (с)

Ответ: Δt = 10 с

5. Как изменится температура медного провода, если по нему в течение 0,5 с пропускать ток плотностью 9 А/мм2, а 25% тепловой энергии отдается окружающей среде? Удельное сопротивление меди 1,7⋅10-8 Ом⋅м, плотность меди 8,9⋅103 кг/м3, удельная теплоемкость меди 380 Дж/(кг⋅К). Удельное сопротивление меди считать постоянным. Результат представьте в единицах СИ и округлите до сотых.

Дано:	Решение:
t = 0,5 с j = 9 А/мм2 = 9⋅106 А/м2 η = 25% ρуд = 1,7⋅10-8 Ом⋅м ρпл = 8,9⋅103 кг/м3 с = 380 Дж/(кг⋅К)	При пропускании тока по проводнику, последний нагревается на ΔT. Необходимое количество теплоты, которое идет на нагревание проводника, определяется соотношением: Q1 = cmΔT,                         (1) где m – масса проводника, связанная с его плотностью соотношением:
ΔТ = ?

m = ρплlS,                                                (2)

l – длина проводника, S – площадь поперечного сечения.

Тогда выражение (1) перепишем в виде:

Q1 = cρплlSΔT.                                         (3)

Тепло, выделяющееся в проводнике, находим из закона Джоуля-Ленца.

Q2 = I2Rt,                                                (4)

где сила тока

I = j S.                                         (5)

Здесь j - плотность тока, S – площадь поперечного сечения проводника. R в формуле (4) – сопротивление проводника, определяемое из соотношения: 

R = .                                         (6)

Уравнение (4) с учетом (5) и (6) примет вид:

Q2 = j2S2t = j2Sρудlt.                                (7)

Так как по условию задачи 25% тепловой энергии отдается окружающей среде, то на нагревание проводника идет 75% от выделяющегося тепла, т. е.

Q1 = 0,75Q2.                                         (8)

Подставив выражения (3) для Q1 и (7) для Q2 в уравнение (8) найдем изменение температуры медного провода.

cρплlSΔT = 0,75 j2Sρудlt  или  cρплΔT = 0,75j2ρудt. 

тогда ΔТ будет равно:

ΔТ = .

ΔТ = = 0,15 (К)

               Ответ: ΔТ = 0,15 К

6. Электрическая цепь составлена из источника тока с ЭДС ε, внутренним сопротивлением 2 Ом и подключенных параллельно к источнику тока резисторов. Сопротивление резистора R1 = 10 Ом неизменно, а сопротивление R2 можно подобрать так, чтобы выделяемая в этом резисторе мощность была максимальной. Найдите значение R2, соответствующее этой максимальной мощности. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до десятых.

Дано:	Решение:
ε r = 2 Ом R1 = 10 Ом P2 = max		мощность, выделяемая в резисторе R2, можно определить из соотношения Р2 = ,                 (1)
R2 = ?

где

U2 = IRо.                                         (2)

Здесь Rо – суммарное сопротивление при параллельном соединении.

Rо = .                                        (3)

Силу тока I находим из закона Ома для полной цепи.

I = = .                                (4)

Выражения (3) и (4) подставим в закон Ома для участка цепи (2).

U2 = ⋅= .                (5)

Вернемся к уравнению (1). Перепишем его с учетом (5).

Р2 = = .                (6)

Здесь величина R2 – переменная. Для ее нахождения возьмем первую производную в выражении (6) и приравняем ее нулю, так как Р2 = max – по условию.

=

= =

= = =0

В полученном выражении нулю может быть равен только числитель.

= 0.

Здесь ε2 ≠ 0 и ≠ 0 – по условию. Следовательно,

rR1 + rR2 + R1R2 - 2 rR2 - 2 R1R2 = 0.

rR1 + rR2 - 2 rR2 - R1R2 = 0.

rR1 + R2(r - 2r - R1) = 0.

Отсюда

R2(R1+ r ) = rR1,

R2= .

После вычислений имеем.

R2= = 1,7 (Ом).

               Ответ: R1 = 1,7 Ом

7. Куб из проволочек, каждая из которых имеет сопротивление 1 Ом, включен в цепь, как показано на рисунке. Найдите полное сопротивление  куба. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до сотых.

Дано:	Решение:
R = 1 Ом
R0 = ?

Дан куб из проволочек, сопротивление каждого ребра которого равно R. Чтобы рассчитать его полное сопротивление построим эквивалентную схему, используя метод склейки узлов. Этот метод заключается в том, что, если несколько узлов имеют одинаковый потенциал, то их можно соединить в узел. В нашей задаче узлы 2, 3 и 4 имеют одинаковый потенциал, так как сопротивление проводников одинаково, и ток в точке 1 делится на три одинаковых тока. То же самое относится к точкам 5, 6 и 7. после склеивания узлов получим три последовательно соединенные группы, состоящие из параллельных сопротивлений.

Сопротивление в первой и последней группе будет равно.

.

Тогда

R01 = R03 = .

Для средней группы проводников.

  и  R02 = .

Сопротивление трех последовательно соединенных групп равно.

R0 = R01 + R03 + R02 = + + =.