Теоретические основы изучения методов вычисления конечных и бесконечных сумм (стр. 2 )

Поскольку , а при n=1 тоже равно 1, то наше предположение истинно при n=1.

Пусть оно истинно при n=k, т. е. пусть . Тогда имеем: . Полученное равенство есть равенство при n=k+1. Пользуясь методом математической индукции, мы доказали формулу .

Таким образом, , а потому

Так как 2, то эту формулу можно переписать следующим образом:

б) Аналогично выводится формула для суммы членов геометрической прогрессии. Сначала замечаем, что в силу формул сокращенного умножения имеем: (мы считаем, что q) и . Поскольку и можно записать в виде , то приходим к индуктивному предположению: .

Равенство позволяет сделать переход от k к k+1. Метод математической индукции позволяет выводить и формулы для многих других сумм.

Пример 3.

Доказать, что сумма первых n (n) нечетных чисел равна квадрату их числа, т. е. 1+3+5+…+(2n-1)=n2.

Решение. Т. к. утверждение зависит от натурального параметра n, то воспользуемся для его доказательства методом математической индукции.

1) Проверим справедливость данного утверждения для n=1, если n=1, то 1=12;

2) предположим, что сумма первых k (k ) нечетных чисел равна квадрату числа этих чисел, т. е. 1+3+5+…+(2k-1)= k 2(*). Другими словами, предположим, что наше утверждение истинно для всех, значит n от 2 до k включительно;

3) установим, исходя из равенства (*), что сумма первых k+1 нечетных чисел равна (k+1), т. е. 1+3+5+…+(2∙(k+1)–1)=(k+1). Действительно, 1+3+5+…+(2∙(k+1)–1)=1+3+5+…(2k+1)=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)= =[1+3+5+…+(2k –1)+(2k+1)=+2k +1=(k+1); (k+1)=(k+1) (истина).

На основании принципа математической индукции делаем вывод, что сумма первых n нечетных чисел равна n2 для любого натурального n.

Пример 4.

Доказать формулу: 1+2+3+…+n=.

1) Проверим справедливость данного утверждения для n=1, если n=1, то 1=, 1=1;

2) Пусть она истиннa при n=k, т. е. пусть 1+2+3+…+k=.

3) Проверим равенство для n=k+1: 1+2+…+k+(k+1)= +(k+1)=. Ч. Т.Д.

Пример 5.

Доказать формулу: .

1) Проверим справедливость данного утверждения для n=1, если n=1, то ;

2) Пусть она истиннa при n=k, т. е. пусть

.

3) Проверим равенство для n=k+1:

Пример 6.

Доказать формулу

1) Проверим справедливость данного утверждения для n=1, если n=1, то .

2) Пусть она истиннa при n=k, т. е. пусть

.

3) Проверим равенство для n=k+1:

Пример 7.

Доказать формулу: 1∙2+2∙3+3∙4+…+(n-1) ∙n=.

1) Проверим справедливость данного утверждения для n=2, если n=2, то

2) Пусть она истиннa при n=k, т. е. пусть

1∙2+2∙3+3∙4+…+(k-1) ∙k=.

3) Проверим равенство для n=k+1:

1∙2+2∙3+3∙4+…+(k-1) ∙k+k∙(k+1)==

1.2. Методы вычисления тригонометрических сумм

Рассмотрим на примерах методы суммирования некоторых конечных рядов.

1. Вычисление суммы косинусов и синусов дуг, образующих арифметическую прогрессию.

Первый способ. Рассмотрим сумму:

; имеем

сложив почленно и разделив на получим:

Откуда окончательно:

Если в этой формуле заменить на и h на –h, то получим:

Второй способ. Вычислим по формуле Муавра k-ую степень комплексного числа z=и умножим ее на число

Искомые суммы () и () суть действительная и мнимая части суммы n+1 членов геометрической прогрессии:

имеем:

Умножив на получим в произведении: . Действительная часть есть сумма (), а коэффициент при i-сумма ().

Следствие. Положим, в частности, тогда получим:

2. Разделив почленно () на (), получим: