Теоретические основы изучения методов вычисления конечных и бесконечных сумм (стр. 4 )

1 3

Умножив последовательно эти равенства на 1,3,,…, и сложив почленно, получим после сокращения: , откуда

()

4. Вычислить суммы: 

Решение. Рассмотрим равенство:

При это равенство примет вид:

но .

Следовательно, , откуда

, .

1.4 Понятие ряда и его суммы. Свойства сходящихся рядов

Исторически первый неочевидный (как говорят математики, нетривиальный) пример суммирования бесконечного числа слагаемых принадлежит Архимеду. Архимед вычислил «квадратуру параболы», т. е. подсчитал площадь фигуры, ограниченной частью квадратичной параболы.

Архимед разбил площадь параболического сегмента на треугольники. При этом он подсчитал, что площадь каждого нового треугольника в четыре раза меньше площади предыдущего. Зная площадь первого треугольника a1 = 1, они пришел к необходимости подсчитать бесконечную сумму: 1+

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел (1). Составленный из этих чисел символ (2) называется бесконечным рядом, а сами числа (1) - членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так: (2а); указатель n пробегает здесь все значения от 1 до .

Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы; …, ,…; (3) их называют частными суммами (или отрезками) ряда. Эту последовательность частичных сумм {} мы всегда будем сопоставлять с рядом (2): роль этого символа и заключается в порождении упомянутой последовательности.

Конечный или бесконечный предел А частичной суммы ряда (2) при : называют суммой ряда и пишут А==, придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т. е. если сумма равна, либо же суммы вовсе нет) – расходящимся.

Таким образом, вопрос о сходимости ряда (2) , по определению, равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности (3). Обратно, какую бы варианту (n=1,2,3,…) наперед не взять, вопрос о наличии для нее конечного предела может быть сведен к вопросу о сходимости ряда (4), для которого частичными суммами как раз и будут последовательные значения варианты: При этом сумма ряда совпадает с пределом варианты.

Иными словами, рассмотрение бесконечного ряда и его суммы есть просто новая форма изучения варианты (или последовательности) и ее предела. Но эта форма представляет неоценимые преимущества как при установлении самого существования предела, так и при его вычислении. Это обстоятельство делает бесконечные ряды важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его приложениях.

Пусть Если то ряд (2) называют положительным; если , то ряд (2) называют строго положительным.[7]

Свойства сходящихся рядов:

Пусть с – комплексное число. Если ряд сходится, то ряд , называемый произведением данного ряда на число, также сходится и . Эта теорема означает, что числовой множитель «можно выносить за скобку» и в случае бесконечного числа слагаемых, если они образуют сходящийся ряд. «Можно» в том смысле, что справедливо равенство. Пусть ряды и сходятся, тогда ряд , называемый суммой данных рядов, также сходится и +.

Эта теорема означает, что сходящиеся ряды «можно складывать почленно» (n - ый член с n - м). «Можно» в том смысле, что справедливо равенство+.

Если ряд сходится, то любой его остаток сходится. Если какой-либо остаток ряда (2) сходится, то и сам ряд также сходится. [Кудрявцев, 2003, с. 480]

1.5  Вычисление бесконечных сумм по определению

Пример 1. Исследуем на сходимость геометрический ряд .

Последовательность членов ряда есть геометрическая прогрессия.

Составим n-ю частичную сумму ряда

(). Если q=1, то и - ряд расходится.

Если q =-1,то ряд имеет вид . Последовательность частичных сумм данного ряда такова: , т. е.

Поскольку две подпоследовательности {}, {} имеют различные пределы , то предел последовательности частичных сумм рассматриваемого ряда при n→∞ не существует, и ряд расходится.