Теоретические основы изучения методов вычисления конечных и бесконечных сумм (стр. 1 )

Содержание

Введение        3

Глава 1. Теоретические основы изучения методов вычисления конечных и бесконечных сумм        6

1.1.        Применение метода математической индукции        6

1.2. Методы вычисления тригонометрических сумм        11

1.3. Применение комплексных чисел        16

1.4 Понятие ряда и его суммы. Свойства сходящихся рядов        19

1.5  Вычисление бесконечных сумм по определению        21

1.6        Вычисление бесконечных сумм с помощью определенного        25

1.7 Понятие о суммировании расходящихся рядов        26

Глава 2. Изучение методов вычисления конечных и бесконечных сумм        32

2.1 Психолого-педагогические основы активизации познавательной деятельности при изучении прогрессий        32

2.2 Элективные занятия в средних специальных учебных заведениях        42

2.3 Тематическое планирование элективного курса        50

Заключение        56

Список используемых источников        57

Введение

Бесконечность — категория человеческого мышления, которая используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры. Применяется в противоположность конечному, исчисляемому, имеющему предел; систематически исследуется в математике, логике и философии, также изучаются вопросы о восприятии, статусе и природе бесконечности в психологии, теологии, физике соответственно.

Исторически первые проблемы бесконечности — вопросы конечности пространства и времени, количества вещей в мире, более сложные проблемы — возможность бесконечного деления континуума, возможность оперирования с бесконечными объектами (проблема актуальной бесконечности), природа и поведение бесконечно малых величин — инфинитезималей, наличие различных типов бесконечности и соотношение между ними. Наиболее глубокое исследование бесконечности предпринято в математической теории множеств, в которой построено несколько систем измерений различных видов бесконечных объектов, однако без дополнительных искусственных ограничений такие построения вызывают многочисленные парадоксы, пути их преодоления, статус теоретико-множественных построений, их обобщений и альтернатив являются основным направлением исследований бесконечности у философов современности. [15]

Ряды широко используются в математике и ее приложениях как в теоретических исследованиях, так и при приближенных численных решениях задач. Многие числа могут быть записаны в виде специальных рядов, с помощью которых удобно вычислять их приближенные значения с нужной точностью.

Метод разложения в ряды является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближенных значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных).

Учащиеся должны уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач с применением аппарата математического анализа.

Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе алгебры средней школы изучается обособленно, лишь в девятом классе, мало перекликаясь с другими разделами школьной программы. Но несмотря на это задачи, для решения которых необходимо знать не только формулы п-го члена и суммы первых п членов, но и свойства арифметической и геометрической прогрессий, предлагаются на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы. А для того, чтобы знания ученика были на достаточно высоком уровне, необходимо активизировать его познавательную деятельность при изучении прогрессий. Поэтому теоретические и практические исследования по данной теме представляются актуальными в настоящее время и обусловлены насущными потребностями средних школ различного уровня: как общеобразовательных, так и с математическим уклоном.

Как же поступать преподавателю?  С одной стороны, он ограничен рамками программы, с другой ‑ преподаватель понимает, что без прочных и глубоких знаний его ученики не смогут в дальнейшем стать полноценными студентами, им труднее будет усваивать высшую математику. Выход один: разрабатывать и проводить элективные занятия. Все выше сказанное определило актуальность исследования.

Объект исследования – процесс изучения дополнительных разделов математического анализа в средней старшей школе и в системе среднего профессионального образования.

Предметом исследования методы вычисления конечных и бесконечных сумм.

Цель исследования – разработка тематики и содержания элективных занятий «Методы вычисления конечных и бесконечных сумм».

Гипотеза исследования заключается в необходимости изучения объявленной выше темы на элективных занятиях для достижения более высокого уровня математической подготовки учащихся, развития их индивидуальных способностей, формирования целостного мировоззрения, обеспечения лучшей адаптации учащихся к процессу дальнейшего обучения ВУЗе.

Для реализации поставленной цели и проверке выдвинутой гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. Рассмотреть исторические и теоретические основы темы.

2. Продемонстрировать парадоксы суммирования и зависимость сходимости от полученных результатов.

3. Подобрать материалы для подготовки проведения элективного курса по теме: "Методы вычисления конечных и бесконечных сумм".

Для достижения поставленной цели нами использовались следующие методы исследования:

1. Анализ математической и методической литературы, работ по истории математики.

2. Наблюдение за учащимися во время проведения элективного курса.

Глава 1. Теоретические основы изучения методов вычисления конечных и бесконечных сумм

Применение метода математической индукции

Различные утверждения (теоремы) о последовательностях часто доказывают рассуждением, которое называется математической индукцией.

По мнению [1], естественным моментом введения метода математической индукции в школе могло бы оказаться изучение прогрессий и последовательностей. Прогрессии определяются рекуррентными соотношениями, т. е. соотношениями, позволяющими найти следующий член последовательности по одному или нескольким предыдущим ее членам. Арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением , а геометрическая прогрессия — рекуррентным соотношением . Иными словами, само определение этих прогрессий дается с помощью индукции от n к n+1. Поэтому и большинство формул, относящихся к прогрессиям, было бы целесообразно выводить при помощи метода математической индукции.

Пусть нам надо доказать утверждение вида: для каждого натурального числа n верно утверждение P(n).

Метод математической индукции, применяемый для его доказательства, состоит в следующем.

Утверждение проверяется для начального значения n, то есть доказывается утверждение P(1); Доказывается условное утверждение: если верно P(n), то верно P(n+1): P(n) ⇒ P(n+1). 

Первый шаг в этом доказательстве называется базой индукции, второй шаг называется индукционным переходом. 

Пример 1.

При выводе формулы общего члена арифметической прогрессии замечаем, что .

Эти формулы позволяют предположить, что для любого натурального числа n истинно равенство

Докажем его с помощью математической индукции. При n=1 оно истинно, поскольку и и при n=1 равно .

Предположим теперь, что d. Тогда . Равенство можно переписать так: Полученное равенство является не чем иным, как равенством при n=k+1. Значит, оно истинно при всех натуральных значениях n.

Точно так же доказывается, что общий член геометрической прогрессии выражается формулой

Пример 2.

Выведем теперь с помощью математической индукции формулы для сумм членов арифметической и геометрической прогрессий.

а) Для арифметической прогрессии имеем:

.

Таким образом, нам надо вывести формулу для суммы 1+2+…+(n-1) первых (n-1) натуральных чисел. Обозначим сумму первых n натуральных чисел через . Имеем: 22 2 2. Этого достаточно, чтобы сделать предположение индукции: 2, т. е.