Теоретические основы изучения методов вычисления конечных и бесконечных сумм (стр. 3 )

3. Вычислить сумму: Имеем:

Воспользовавшись формулой (), получим (после преобразований):

Так, в частности,

4. Вычислить суммы: ()

().

Решение. Положив в формулах () и () и заменив n на n-1, получим: и

5. Вычислить сумму:

Решение. Достаточно в формуле () положить :

Преобразуем числитель в сумму:

откуда . ()

Примечание. Этим же способом вычисляется сумма .

6. Вычислить суммы:

и

Решение. Выразим каждое слагаемое через косинус двойного аргумента. Имеем: .

Для вычисления последней суммы достаточно в формуле () заменить на 2, h на 2h, тогда получим: и, следовательно,

В частности, Посредством тригонометрических преобразований правой части получим другую формулу для этой же суммы . Подобным же образом вычисляется вторая сумма

().

Примечание. Зная одну из рассматриваемых сумм, нетрудно найти другую, так как:

7. Вычисление сумм вида: и (где р - натуральное число).

Обозначим через и следующие суммы:

Эти суммы вычисляются по формулам () и () (заменить h на  ph):

и . Для вычисления суммы

выразим степени косинуса посредством тригонометрических функций кратных дуг:

положив последовательно k=0,1,2,…,n и просуммировав по k, получим:

. ()

Тем же методом вычисляется

Положив, в частности, р=3, вычислим суму

Имеем . Просуммировав по k, получим:

. [5]

1.3. Применение комплексных чисел

Комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид z=a+b∙i, где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Число a называется действительной частью (Rez) комплексного числа z, число b называется мнимой частью(Imz) комплексного числа z.

Суммой двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная и мнимая части которого есть суммой действительных и мнимых частей чисел-слагаемых соответственно.

1. Рассмотрим сумму . Положим тогда имеем: , и, следовательно,

.

Вычисляем правую часть последнего равенства

а) ;

б)

с)

d)

е)

Следовательно, .

Отсюда найдем выражения для и .

2. Вычислить суммы: ;

.

Решение. Рассмотрим сумму n+1 первых членов геометрической прогрессии .

Если положить , то последнее равенство примет вид:

.

Вычислим правую часть последнего равенства:

Действительная часть полученного выражения равна а коэффициент при i равен : ()

()

Различные частные приемы вычисления сумм показаны на примерах 3 и 4.

3. Вычислить сумму .

Решение. Исходим из тождества

Полагая последовательно , получим: