Далее возможны следующие случаи:
1) 
. Последовательность членов есть, так называемая, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Поскольку 
при 
2) 
.
Поскольку 
, то при 
будет 
, тогда 
, т. е. 
, и в этом случае не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Таким образом, геометрический ряд 
(
) сходится тогда и только тогда, когда 
, и в этом случае его сумма равна 
.
Пример 2. Рассмотрим ряд 
известный под именем гармонического ряда.
Имеем очевидное неравенство: 
(1). Если, отбросив первые два члена, остальные члены гармонического ряда последовательно разбить на группы, по 2,4,8,…,
,… членов в каждой 
; 
; 
; …; 
…, то каждая из этих сумм в отдельности будет больше 
; в этом легко убедиться, полагая в (1) поочередно n=2,4,8,…, 
,… Обозначим n - ю частичную сумму гармонического ряда через 
; тогда очевидно, 
. Мы видим, что частичные суммы не могут быть ограничены сверху: ряд имеет бесконечную сумму.
с возрастанием n возрастает очень медленно. Эйлер, например, вычислил, что 
и т. д.
Пример 3. 
(*).
Этот ряд не удовлетворяет условиям сходимости. Докажем по определению, что ряд расходится.
Значит, ряд расходится.
Пример 4.
Вычислите 
.
Пример 5.
Вычислите 
.
.
Пример 6.
Вычислить а) 
; б) 
.
. Применим формулу Эйлера 
:
; т. к. 
, то 
, значит 
=0. 
.
Пример 7.
Вычислить 
.[7]
интеграла
Ряд 
(1) (f(n) – значение при x=n некоторой функции f(x), определенной для 
функцию эту предположим непрерывной, положительной и монотонно убывающей) сходится или расходится в зависимости от того, имеет ли функция F(x)=
при 
конечный предел или нет.
Первообразную функцию F(x) можно взять и в форме определенного интеграла F(x)=
Предел его при 
называют «интегралом от 1 до +
» и обозначают так: 
Итак, предложенный ряд (1) сходится или расходится, смотря по тому, имеет ли этот интеграл конечное значение или нет. [7]
Дифференцируя или интегрируя известные разложения в ряд Тейлора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды. Так, например, интегрируя формулу геометрической прогрессии 
(1) в пределах от 0 до x,
( что допустимо, ибо ряд (1) равномерно сходится на отрезке с концами в точках 0 и x при 
), получим формулу
: 
.
Дифференцируя или интегрируя заданный степенной ряд, иногда удается получить ряд, сумма которого уже известна; это позволяет вычислить и сумму исходного степенного ряда.[5]
Например, вычислить 
, рассматривая определенный интеграл как предел интегральных сумм.
1-ый способ.
Разделим отрезок интегрирования [1;2] на n равных частей длины 
. Точки деления:
.
В качестве точек 
выберем, например, левые концы каждого частичного отрезка. Тогда 
.
Следовательно,
Применяя формулу суммы квадратов целых чисел 
, находим 
, откуда
2-ой способ.
Разобьем отрезок [1;2] на части так, чтобы абсциссы точек деления образовали геометрическую прогрессию:
(где 
). Точку 
выбираем на левом конце k-ого отрезка. Тогда 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
