В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы (стр. 5 )

Таким образом, через 12 месяцев (1 год) выплаченная сумма долга составит

или в виде

которая по условию задачи равна 466,5 тыс. рублей. Получаем уравнение

То есть кредит составлял 600 тыс. рублей.

Ответ: 600 000.

Задание 17. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

Чтобы произвести максимальный объем сплава, необходимо добыть максимальное количество алюминия и никеля в обеих областях, в равных пропорциях, чтобы не было переизбытка материала. Очевидно, что в первой области 20 рабочих следует разделить на две равные группы по 10 человек, которые буду добывать

кг алюминия

и

кг никеля

в сутки.

Во второй области следует также поровну распределить рабочих по 10 человек, которые добудут

кг алюминия

и

кг никеля

В итоге, поставляя на завод в сумме по 30 кг алюминия и 30 кг никеля, можно будет выплавлять по 60 кг сплава ежедневно.

Ответ: 60.

Задание 17. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.

Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение.

Вычислим доход фермера с первого поля, если он засеет на нем картофель. Урожайность картофеля на нем 500 ц/га, цена картофеля 5000 за центнер, размер поля 10 гектар, получаем размер дохода

руб.

Теперь сравним доход, если на первом поле будет засеяна свекла, получим

руб.

Отсюда видно, что на первом поле выгоднее сажать картофель.

Аналогично сравним доход, приносимый вторым полем:

- для картофеля:

руб;

- для свёклы:

руб.

Следовательно, на втором поле выгоднее сажать свёклу.

Таким образом, максимально возможный доход фермер может получить в сумме

млн. руб.

Ответ: 65.

Задание 17. 31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем Арсений переводит очередной транш. Арсений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 550 тыс. рублей, во второй 638,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Арсению?

Решение.

Пусть процентная ставка, под которую был выдан кредит Арсению. Сначала долг 1000 тыс. рублей увеличивается на процентную ставку, т. е. становится равным

,

а, затем, погашается в размере 550 тыс. рублей:

.

Данная сумма долга вновь увеличивается на процентную ставку и погашается в размере 638,4 тыс. рублей:

.

Раскрываем скобки, упрощаем:

Решаем квадратное уравнение, получаем

Так как процентная ставка не может быть отрицательным значением, имеем ответ , т. е. 12% годовых.

Ответ: 12.

Задание 17. 15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 13 % больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

Решение.

Обозначим через сумму кредита. В следующий месяц долг увеличивается на процентов, т. е. и выплачивается часть долга, который должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца, т. е. в первой выплате равен . Получаем сумму долга во втором месяце

.

В следующем месяце производятся те же операции, только с суммой , имеем сумму долга

.

Через 25 месяцев получаем объем выплат, равный

или в виде

По условию задачи сказано, что объем выплат превысил первоначальный кредит на 13%, получаем уравнение:

,

отсюда находим

Ответ: 1.

Задание 17. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Решение.

Первый способ. По условию задачи нужно так распределить рабочих на добычу металлов, чтобы обеспечить их максимальную выработку. Так как алюминий и никель взаимозаменяемы, то в первой области рабочих можно распределить или на добычу алюминия, или на добычу никеля, т. к. их выработка в час одна и та же. Например, можно направить всех 160 на добычу алюминия, получим:

кг алюминия.

Во второй области следует распределить так рабочих, чтобы ни один их час не пропал даром, т. е. чтобы на выходе получалось целое число (в кг) выработки металла. Например, 80 человек, работая по 5 часов с туки, будут давать

кг алюминия

и

кг никеля

Таким образом, суммарно завод сможет производить в сутки из 80 кг алюминия и 20 кг никеля с 20 кг алюминия. Всего получаем 120 кг.

Второй способ. (Ход решения представлен Сергеем Александровичем Бардасовым).

В первой области оставляем также, 160 рабочих добывают 80 кг металла (не важно какого). Для второй области через обозначим число рабочих, добывающих алюминий. Соответственно получим число рабочих, добывающих никель. Каждый рабочий трудится по 5 часов в день, следовательно, всего они добудут

кг металла.

Необходимо выбрать так, чтобы данное выражение было максимальным. Для этого найдем экстремум (он будет один и соответствует максимуму) функции из условия равенства нулю ее производной, имеем: