В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы (стр. 8 )

Решение.

В первой шахте 60 рабочих, работающих по 5 часов каждый и добывающих или 2 кг алюминия, или 1 кг никеля. Во второй шахте 100 рабочих, работающих 5 часов и добывающие 1 кг алюминия и 2 кг никеля в час. Чтобы обеспечить максимальный объем выплавки сплава, необходимо добиться соотношения 2:1 в добычи алюминия к никелю. Обозначим через рабочих, добывающих алюминий в первой шахте, а через число рабочих, добывающих алюминий во второй шахте, получим

или в виде

.

Отсюда получаем уравнение

Получили линейную зависимость между числом рабочих в первой и второй шахтах. Следовательно, максимальная выплавка сплава будет получена, если взять или :

- для :

объем выплавки составит:

кг;

- для :

объем выплавки составит:

кг.

Ответ: 1320.

Задание 17. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить орублей в стуки, а номер «люкс» – 5000 рублей в стуки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в стуки на своем отеле предприниматель?

Решение.

Предположим, что в отеле стандартных номеров и номеров типа «люкс». В сумме по площади они должны покрывать пространство в 940 кв. м. Это можно записать в виде уравнения

Очевидно, что максимальная прибыль будет получена, если вся площадь будет использована под номера без остатка. Это условие можно записать в виде

и

.

Неравенство должно выполняться, иначе значение будет дробным и не вся площадь будет использована под номера.

Из последнего неравенства имеем

Так как это число номеров, то оно может принимать значения 1,2,...,22. При этом, если , то , а если , то . Для определения наибольшего дохода достаточно рассмотреть эти два крайних варианта. В первом случае размер дохода составит

,

а во втором

.

Ответ: 125000.

Задание 17. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

Во второй области нужно распределить рабочих так, чтобы они добывали целое количество килограмм алюминия и никеля в день. Учитывая, что имеется 100 рабочих, которые работают по 10 часов в день, можем их разбить на группы в 10 и 90 рабочих, так, чтобы из чисел 100 и 900 извлекался квадратный корень, получим:

кг алюминия

и

кг никеля

В первой области рабочих нужно распределить так, чтобы суммарное количество алюминия и никеля было равно, получим

,

где - число рабочих на добыче алюминия. Решаем уравнение, имеем

Следовательно, первая область должна добывать

кг алюминия

и

кг никеля

Таким образом, на завод ежедневно будет поступать 100 кг алюминия и 100 кг никеля, из которых можно будет изготовить 200 кг сплава.

Ответ: 200.

Задание 17. Матвей хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Матвей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 тысяч рублей?

Решение.

По условию задачи имеем. Матвей взял кредит в 1,4 млн. рублей под 10% годовых и каждый год готов выплачивать по 0,32 млн. рублей (взята максимальная сумма, чтобы определить минимальное число лет). В конце года, кредит увеличивается на 10% и гасится на 0,32 млн. рублей, имеем:

.

- во второй год:

- через n лет:

.

Перепишем последнее выражение в виде

.

или

Нам необходимо выполнение неравенства, которое означает полное погашение взятого кредита, т. е.

Прологарифмируем обе части неравенства, получим:

Так как степень должна быть целым числом (кредит берется на целое число лет), то получаем ближайшее целое .

Ответ: 7.

Задание 17. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 822 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года кредитования?

Решение.

Пусть размер кредита, взятого в банке. После первого месяца начисляются 2%, что составляет и нужно сократить долг так, чтобы он уменьшался пропорциональными частями каждый месяц, т. е. нужно выплатить в первый месяц , получим сумму долга на второй месяц

.

Аналогично для второй выплаты, сумма выплачиваемого долга должна составлять и тогда сумма долга будет равна

.

В результате, сумма выплат за первый год составят:

или в виде