В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы (стр. 7 )

Решение.

Сплав создается в соотношении 3:1, следовательно, чтобы произвести максимальный объем без перепроизводства материала, алюминия нужно добывать в 3 раза больше, чем никеля.

Во второй области, максимум можно добыть лишь равные доли алюминия и никеля, разбив 20 рабочих на две равные группы по 10 человек, которые будут добывать

кг алюминия

и

кг никеля.

Чтобы обеспечить соотношение 3:1, в первой области нужно добывать алюминия и никеля в пропорции

,

где - число рабочих, направленных на добычу алюминия. Получаем уравнение

То есть все 20 рабочих первой области должны добывать алюминий, объем которого составит

кг.

Таким образом, завод из 30 кг алюминия и 10 кг никеля, сможет в день изготавливать 40 кг сплава.

Ответ: 40.

Задание 17. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 0,3 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года кредитования?

Решение.

По условию задачи, сначала долг возрастает на 3%, т. е. становится равный , а затем, погашается так, чтобы долг уменьшался на равные доли каждый месяц. Это значит, все выплаты нужно взять равномерно и компенсировать каждый месяц начисленные проценты , получим

.

Во второй год выполняются те же операции, имеем:

.

Таким образом, вся выплаченная сумма банку будет определяться выражением

.

Выделим из этого выражения часть суммы, относящейся ко второму году кредитования:

Перепишем это выражение в виде

то есть 179250 рублей.

Ответ: 179250.

Задание 17. 1 января 2015 года Иван Сергеевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 2% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Иван Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Иван Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 тыс. рублей.

Решение.

Сумму выплат каждый месяц примем равной 200 000 рублей, т. е. . Изначально сумма долга банку составляет 1 000 000 рублей, в следующем месяце получим сначала увеличение суммы долга на 2%, т. е.

,

а, затем, Иван Сергеевич выплачивает долг в размере 200 000 рублей

рублей.

Аналогичные вычисления происходят и в последующих месяцах:

2-й месяц: ;

3-й месяц: ;

4-й месяц: ;

5-й месяц: ;

6-й месяц: .

То есть Иван Сергеевич выплатит весь долг минимум через 6 месяцев.

Ответ: 6.

Задание 17. 31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Антон переводит очередной транш. Антон выплатит кредит за два транша, переведя первый раз 510 тыс. рублей, во второй – 649 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Антону?

Решение.

Антон взял в банке кредит тыс. рублей (один миллион рублей). Обозначим через процентную ставку (годовых), под которую Антон взял этот кредит. Первую выплату обозначим как тыс. рублей, вторую – как тыс. рублей. Тогда, в первый год сумма долга составит

,

где . И после выплаты первого транша Антоном, станет равной

.

Во второй год сумма долга будет равна

и после второй выплаты будет равна

.

По условию задачи Антон выплатил весь кредит за 2 года, следовательно

После подстановки числовых значений, получаем квадратное уравнение

Решаем квадратное уравнение относительно m, получаем корни

и так как ставка не должна быть отрицательной, имеем

Подставляем вместо m выражение , находим процентную ставку

то есть Антон взял кредит под 10% годовых.

Ответ: 10.

Задание 17. 15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Решение.

Пусть рублей размер кредита, взятого в банке. Каждые 11 месяцев кредит сначала увеличивается на 3%, а затем, из него вычитается часть возвращенного долга таким образом, чтобы сумма кредита уменьшалась каждый месяц на равные доли. Для этого погашать кредит нужно в размере в первый раз. Долг становится равный

.

Во второй раз долг увеличивается также на 3% и погашается в размере :

и так далее все 11 раз. В результате имеем следующую сумму выплат банку за весь срок кредитования:

.

Перепишем это выражение в более удобной форме:

Из последнего выражения видно, что первоначальная сумма кредита увеличилась в 1,18 раз, то есть на 118%.

Ответ: 118.

Задание 17. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?