Теория движения и излучения заряженных частиц в электромагнитных полях (стр. 2 )

Квадрируя систему уравнений (5.3) получаем уравнение второго по­рядка,  которое учитывает влияние спиновых и релятивистских по­правок на движение электрона во внешних полях. Оператор гамиль­тониана в этом случае удается разделить на операторы нулевого приближения,  где оказывается возможным разделение переменных и возмущения. Уравнение (4.3) дополняется операторами,  учитывающие спин электрона,  то есть, получаем квантовое уравнение в паулевском приближении:

Здесь - векторы напряженности постоянных электрического и магнитного полей. Вторая волновая функция в (5.4) выражается через первую в первом приближении последующим образом:

  (5.6)

Тема: Решение задачи Ландау с помощью уравнений Клейна-Гордона и Дирака

Для удобства сравнения с последующими результатами выпишем известное решение уравнения Дирака в приближении (5.5) для электрона во внешнем однородном магнитном поле. Для волновой функции уравнение (5.5) имеет следующее точное решение:

еще- собственные функции уравнения Клейна-Гордона (4.6),

- двухкомпонентная спиновая функция. Решение  (5.5) для собственных значений приводит к следующему выражению:

где - решение уравнения Клейна-Гордона (4,8),  S  - спиновое квантовое число.

При рассмотрении последующих задач не будем приводить ре­шение уравнения Дирака (5.5) для собственных функций, так как оно имеет вид (5.7). Следует заметить,  что  "малые" функции (5.6 для наших задач имеют громоздкое выражение. Например, в случае однородных электромагнитных полей функции (5.6) имеет вид:

Поэтому,  в дальнейшем не будем приводить "малые" функции в явном виде.

Тема: Решение уравнения Дирака для электрона в однородных скрещенных электрическом и магнитном полях

Нас интересует вклад спиновых поправок на собственные зна­чения,  который дает дополнительную не эквидистантность уровней анергии и зависит от направления спина электрона. Для электрона в скрещенных однородных электромагнитных полях оператор (5.5) приобретает следующий вид:

Здесь и в дальнейшем  является гамильтонианом в нулевом приближении уравнения Клейна-Гордона. Полная энергия электрона определяется собственными значениями оператора (5.9а) и энергии возмущения с оператором (5.9б)

Из (5.10) следует, что решение уравнения Дирака приводит к реля­тивистской квантовой задаче эффекта Холла,  в которой учитываются также возможные ориентации спина в магнитном поле. 

Тема: Циклотронный резонанс в электрическом поле гиперболического конденсатора (релятивистский случай)

Рассмотрим движение электрона в скрещенных однородном маг­нитном полеи гиперболическом электрическом поле (1,12) Релятивистское уравнение (4.3) имеет гамильтониан следующего вида:.:

  (4.23)

Здесь принято прежнее обозначение циклотронной частоты (4.7) и введена строфотронная частота  (1.15),  за исключением частоты

Операторы Гамильтона (3.23) можно представить как суперпозицию операторов в нулевом приближении,  а также операторов возмущения и  (3.23в)

Для невозмущенной задачи оператор Гамильтона разбивается на коммутирующие части, а волновая функция представляется в виде произведения:

Решение релятивистских уравнений в виде (4.3) с невозмущенными гамильтонианами (3.25) приводит к следующему решению:

Длина введена из соображений нормировки волновой функции вдоль направления скорости "ведущего центра. Собст­венные значения энергии для релятивистского уравнения (4.3) с операторами Гамильтона (4.25) без операторов возмущения  и  и  находятся из квадратичного уравнения

где - строфотронное квантовое число. Считая энергию малой по сравнению энергию покоя и оставляя члены разложения по вплоть до второго порядка,  получаем

В нерелятивистском приближении (3.29) упрощается и распределение энергии становится эквидистантным. Теперь учтем дополнительные операторы возмущения (3.25). Энергия возмущения определяются по известным соотношениям 

Окончательно для энергии возмущений имеем следующее выражение:

С учетом (3.31) решение квадратичного уравнения типа (3.29) приобретаетследующий вид:

где величина - характеризует возмущение:

Таким образом, спектр энергии циклотронного резонанса в гиперболическом электрическом поле в релятивистском приближении с учетом энергии возмущения становится неэквидистантным. Добавка к спектру энергии за счет возмущения (3.31) является величиной малости более высокого порядка, чем нарушение эквидистантности спектра энергии  (3.29) за счет зависимости массы от скорости. Как и в нерелятивистском приближении существует два резонанса: строфотронный электрический резонанс, связанный с осцилляциями вдоль магнитного поля и циклотронный магнитный резонанс (4.24), частота которого зависит не только от магнитного (4.7), но и электрического поля.

Тема: Циклотронный резонанс в гиперболоидом конденсаторе (релятивистский случай)

Рассмотрим движение заряженной частицы в электрическом поле гиперболоидного конденсатора и однородном магнитном поле. В при­ближении гармонических колебаний решения уравнений Клейна-Гордо­на и Дирака для слабого электрического поля,  осуществляющего аксиальную фокусировку электронов в однородном магнитном поле бы­ли найдены.

Квадраты электрического потенциала в гамиль­тониане  (3.4) считается слабым возмущением и для малых энергий осциллятора им можно пренебречь. Но при больших энергиях когда амплитуда осцилляции по "радиусу Бора" становится значительной, квадрат скалярного потенциалаопределяет ход потенциальной

кривой на бесконечности. Поэтому в релятивистском приближении задачи скрещенных полей необходимо учитывать возмущение,  вызван­ное внешним электрическим  полем.

Гиперболоидный конденсатор образуем вращением четырех со­пряженных гипербол вокруг оси,  вдоль которой направлено постоянное и однородное магнитное поле,  вектор потенциал кото­рого

электрический потенциал такого конденсатора удовлетворяет урав­нению Лапласа  (рис.5)