Теория движения и излучения заряженных частиц в электромагнитных полях (стр. 7 )

где - разность потенциалов между обкладками плоского кон­денсатора с расстоянием между пластинками. Оператор Гамильтона (4.4) для случая однородных скрещенных полей приобретает следующий вид:

где

Решение уравнения (4.3) с релятивистским гамильтонианом (3.10) имеет аналогичное (4.6) выражение для волновой функции через

Здесь введена новая частота

Распределение энергии, где использовалось нерелятивистское приближение  , приобретает неэквидистантный спектр

Итак, решение уравнения Клейна-Гордона с оператором (4.10) приводит к релятивистской квантовой задаче Холла. В классиче­ском случае мы имеем циклоидальное движение заряженных частиц в плоскости,  определяемой магнитным, полем,  и в направлении дрейфа ведущего центра, перпендикулярном к скрещенным электри­ческому и магнитному полям. Частота осцилляции в системе веду­щего центра совпадает с частотой. В квантовом варианте благодаря наличию квадратичного члена по потенциалу (3.9) полу чаем зависимость частоты осцилляции (4.13) от внешнего электрического поля.  Кроме того,  в спектре энергии (3.14) учитываются дополнительные релятивистские поправки разложения энергии  по величине  как следствие  зависимости массы от скорости.

Таким образом, даже в известной классической задаче Холла применение методов квантовой механики приводит к новым резуль­татам. Как непосредственно заметно из выше приведенного примеj использование релятивистских уравнений квантовой механики поз­воляет отыскать (в разумных: пределах) релятивистские поправки в сравнительно несложных формах решения задачи движения заря­женных частиц в скрещенных полях. Методами классической фи зим это сделать несколько сложнее.

Тема: Циклотронный резонанс в электрическом поле параболического конденсатора (релятивистский случай)

Перейдем к рассмотрению движения электрона в скрещенных однородном магнитном поле и электрическом поле параболического конденсатора. Гамильтониан (3.4) для потенциалов и (1.23) состоит из продольной,  поперечной и смешанной частей:

гдеимеют обозначения,  принятые в (1.25) и (4.24).Без учета первой поправки к энергии, решение уравнения (3.3) гамильтонианами (4.34)представляется  в виде (4.26):

Собственное значение энергии в релятивистском приближении имеет вид (4.29),  где

Вычисление энергии возмущения приводит к следующему значению:

Решение уравнения Клейна-Гордона для электрона, движущегося в скрещенных однородном магнитном и параболическом электрическом полях также приводит к не эквидистантному  распределению уровней энергии. 

Тема: Решение задачи циклотронного и строфотронного резонанса с помощью уравнения Дирака

Рассмотрим циклотронный и строфотронный резонанса в поле квадрупольного конденсатора.  Гамильтониан (5.5) в этом случае является суммой релятивистского (4.25) и спинового опера­торов

Учет спина электрона дает следующие дополнительные члены к энергии (4.32)

К двум видам резонансных явлений з задаче 4.2 добавляется также электронный спиновой резонанс.

Исследуем задачу 4.3 с помощью уравнения (5.5). Гамильто­нианы этого уравнения представляются в виде:

При вычислении поправок на возмущение к собственным значениям в нулевом приближении уравнения (5.5) нужно принимать во внимание, что матрицы Паули в  (5.13в) расписываются в цилиндрической си­стеме координат в виде:

После довольно громоздких вычислений приходим к значению энергии (4.45) и (4.47) со спиновой добавкой

Учет оператора (5.13в) приводит к дополнительной энергии спинорбитального взаимодействия (5.13),  а спиновая добавка к оператору (4.50)  имеет вид:

Энергия в релятивистском приближении с учетом спина имеет несколько иной вид,  чем выражение (4.53)

Спиновые матрицы Паули в сферических координатах имеют  следующий  вид:

Учитывая (5.18) можно найти точный вид энергия возмущения за счет оператора (5.16),который имеет громоздкое выражение.  Ограничиваясь большими квантовыми числами находим:

Таким образом, решение уравнения Дирака в паулевском приближе­на для электрона, движущегося в скрещенных электромагнитных полях позволяет учитывать влияние спина на спектр энергии в нуле­вом и первом приближениях.

Тема: Электрический ток в гиперболическом и гиперболоидном конденсаторе

Принцип строфотронкого движения выгоден также с точки зрения увеличения эффективности взаимодействия переменного электромагнитного поля с электронным - пучком. Действительно, переменный ток определяется из  (5.34) для переходов,  определяемых правилами отбора

Как и прежде для эффективной массы (5.3в) при имеем особенность,  которая приводит к значительному увеличению тока перехода. Сказанная здесь зависимость электронного тока от внешних полей имеющая особенность при определенных соотношениях скрещенных электрических и магнитных полей,  появляется впервые подобного рода задачи и требует дальнейшего изучения как в экспериментах со свободными электронными пучками, так и токами проводимости в полупроводниках при циклотронном резонансе.

Сложное осциллирующее движение электрона в однородном маг­нитном поле и электрическом поле параболического конденсатора также приводит к направленному потоку вдоль направляющей системы. Для тока электронов получаем одну отличную от нуля составляющую вида (5.34), где матричный элемент записывается аналогично (5.29) при этом

Для стационарного электрического тока

Если отбросить релятивистские поправки второго порядка ма­лости, приходим к решению для тока дрейфа опре­деляется решением (1.27) классического уравнения движения. Для нестационарного тока имеем:

Распределение плотности тока в скрещенных однородном магнитном доле и электрическом поле гиперболоидного конденсатора обладает азимутальной симметрией. Используя волновые функции (4.42) нахо­дим полный ток для стационарных состояний

Отсюда видно, что азимутальная составляющая тока зависит как от магнитного, так и от электрического полей (4.41).

Тема: Спонтанное и индуцированное излучение электрона в параболическом электрическом поле

Здесь приведены результаты исследований вынужденного и спонтанного излучения электрона в скрещенных одно­родном магнитном поле и электрическом поле пораболического конденсатора (1.23). Решение классического урав­нения движения (1.26) запишем в следующем виде: