Теория движения и излучения заряженных частиц в электромагнитных полях (стр. 3 )

гдеи определены в (1.34).  Этот же вид потенциала часто используют при анализе работы магнетрона. В силу аксиальной  симметрии потенциалов (4.38) и (4.39) для решения задачи вы­берем цилиндрическую систему координат. Оператор (4.4) в нуле­вом приближении при наличии потенциалов (4.38) и (4.39) приоб-

Здесь добавлены новые обозначения к (1.36) и (1.38)

- оператор момента количества движения вдоль оси. Оператор (4.40) разбивается на две коммутирующие меж­ду собой части,  так что волновую функцию в виде произведения двух видов (4.26), уравнение (4.3) с оператором (4.40) разделя­ется на систему двух уравнений для продольной 

и  попе­речной волновых функций:

где  - полиномы Лагерра.

  Постояннаядля продольной и поперечной части соответственно равны:

Здесь постоянные  как собственные значения двух

дифференциальных уравнения объединены условием

Последнее приводит к квадратичному уравнению вида (3.28), реше­нием которого является выражение:

где  орбитальное квантовое число;

  циклотронное квантовое число.

Операторы возмущения для данной задачи имеют следующий вид:

Первая поправка к энергии (4.45) вычисляется по теории возму­щения

Учитывая, что  находим, точные значения для энергий возмущений (4.46а)

Ограничиваясь приближением второго порядка и большими квантовыми числами, приходим к значению энергии вида (4.32),

Перейдем к рассмотрению нашей задачи в сферической системе ко­ординат. Оператор (4.4) при наличии потенциалов (1.34) имеет вид

где соответственно операторы нулевого приближения и возмущения:

где - энергия в нулевом приближении.

При сопоставлении оператора (4.49) принималось условие (1.42)- Решение уравнения (4.3) с гамильтонианом (4.49) имеет вид:

где  - присоединенные функции Лежандра.

Общее  условие  ортонормировки:

и  по отдельности:

Собственное значение энергии в кулевом приближении, но с учё­том релятивизма имеет вид:

Энергия возмущения вычисляется по Формуле:

где   Используя собственные  функции (4.51), после достаточно громоздкие, но простых, вычислений получим точное зна­чение для энергии (4.53а):

Подставляя вместоеё значение (4.53) приближенно получаем:

Выражение (4.54) представляет собой добавку к энергии с боль­шими квантовыми числами.

Таким образом,  наличие множителя  3/2  в соотношении (1.42) сказывает на появление трех степеней  свободы для сфери­ческого ротатора и определяет энергию перехода аксиального ро­татора с двумя степенями свободы к сферическому - с тремя. Так же как для аксиального ротатора,  релятивистское решение для сферического ротатора приводит к неэквидистантному распределе­нию уровней энергии.

Тема: Релятивистское движение электрона в скрещенных однородном магнитном и неоднородном электрическом поле

Гамильтониан релятивистского уравнения Клейна-Гордона для электрона,

движущегося в скрещенных однородном магнитном  и неоднородном электрическом поле  (1.54) имеет следующий вид:

Как  видно из (4.73) невозможно произвести в гамильтониане нулевого приближения разделение переменных. Полагая в гамильтонианах (4.73)  и (4.74)приходим соответственно к задачам движения электрона в скрещенных однородном магнитном  поле и электрических полях квадрупольного и параболического конденсаторов. Решение уравнения Клейна-Гордона для этих случаев рассмотрено в  4.2.

Ограничимся решением нерелятивистского уравнения Шредингера,  где гамильтониан разделяется на продольную и поперечную части:

Заметим,  что операторыкоммутируют между собой, поэтому,  волновую функцию представим в виде произведения:

Уравнение Шредингера разбивается на систему двух уравнении

Решая уравнения (4.79) и (4..80) получаем:

Из (4.83) следует, что решение уравнения Шредингера для собствен­ных значений

энергии дает эквидистантное распределение уровней.

Тема: Электрический ток при постоянном магнитном поле, также при однородном магнитном поле и электрическом поле плоского конденсатора

При движении заряженной частицы в скрещенных однородных магнитном и электрическом полях, а также в поле квадрупольного конденсатора ведущий центр движется с постоянной скоростью вдоль направляющей электрической системы. Это приводит к направленному потоку электронов. Плотность тока для электронов во внешних по­лях определяется следующим выражением:

Спиновой  поправкой к току можно пренебрегать, так как она не дает вклада.

Вычислим электрический ток для двух случаев: однородного магнитного поля и скрещенных однородных полей. Подставляя волно­вые функции (4.6) и (4.12) в выражение (5.27), в результате ин­тегрирования получаем одинаковое выражение для полного тока для обеих случаев (различие только в значениях постоянных)

Здесь использован матричный элемент

где:    для однородного магнитного поля идля однородных электромагнитных нолей.

Для стационарного тока в однородном магнитном поле