Дисциплина «Алгебра и геометрия» (стр. 3 )

Оценку знаний студентов следует производить на практических или лабораторных занятиях по данной дисциплине, что является одной из форм их подготовки к экзамену. Основу системы контроля учебной работы студентов по дисциплине составляет контроль посещаемости лекционных и лабораторных занятий, выполнения РГР (контрольной работы).

Результаты контроля анализируются и при необходимости принимаются оперативные решения по улучшению организации и содержанию учебно-воспитательной работы в рамках данной дисциплины. При этом, особое внимание обращается на выявление отстающих студентов, на умение студентов четко организовать свой труд, на обеспечение ритмичной работы.

4.3 Типовые контрольные задания

Контрольная работа по алгебре

Системы линейных уравнений

Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения переменных:
1)                        2)
3)                4)
5)                        6) .

Линейные системы векторов

Доказать, что при любых α, β и γ система векторов , ,   линейно независима, если  =( 1, α, β ),  =( 0, 1, γ ),  =( 0, 0, 1 ). Исследовать, является ли R подпространством векторного пространства C над полем F, если: 1)F = R; 2)F = C; 3)F = Q. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов :
1)        =(1, 2, 1),        2) =(1,–2,–1),
       =(1, 1,–1),                =(–1, 1,–1),
       =(–1,–3,–3).                =(–1,–3,–3). Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов , векторного пространства многочленов от одной переменной степени ≤ 2 над полем R, если
=f1(x)=3+x+2x2,  =f2(x)=–2+x–x2. Доказать, что в вещественном пространстве квадратных матрицах второго порядка первый из трех векторов , , не выражается линейно через остальные. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов , векторного пространства C над R, если  =2+5i,  =4+10i. Верно ли, что в вещественном  пространстве  многочленов  степени  2  вектор f(x) = 1 + 4x – 7x2 линейно  выражается  через  векторы  f1(x) = 2 – x + x2,  и  f2(x) = 1 – 2x + 3x2. Подпространство V0 натянуто на систему векторов , где
=(1, 2, 1),  =(1, 1,–1),  =(1, 3, 3). Найти базис и размерность V0. Решить векторное уравнение :  , где

, , ,.

Матрицы и определители

Вычислить ранг матриц ,  . Умножить матрицы: ,  . Найти  , если 1) А=, 2) А=. Решить матричное уравнение: 1)⋅X = ,

2) .

Вычислить: ,  . Вычислить определитель матрицы, разложив по строке или столбцу из букв: 1) ,  2) . Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

а)                б)

Векторные пространства, линейные операторы

Найти базис и размерность векторного пространства V над полем R, состоящего из всех матриц вида  ,  где a, b, c, d∈R. В двумерном векторном пространстве с базисом , отображение  f1  переводит ∀(x, y) → (3x – 2y, 2x + y), отображение  f2  переводит ∀(x, y) →

(x + y, y). Исследовать, являются ли отображения  f1, f2  линейными операторами. Если - да, то вычислить матрицу каждого линейного оператора в базисе  ,.

Линейный оператор f векторного пространства V над полем R имеет матрицу А,

в некотором базисе ,,,.

Найти ядро Ker  f  и дефект f.

Линейный оператор f в базисе ,,, задан матрицей:

Найти для вектора, , его образ f().