Синтетический и аналитический методы решения задач (стр. 4 )

1. При решении задачи обязательно объясните себе, почему решаете так, а не иначе.

2. После решения задачи прочитайте снова текст задачи и проверьте, все ли требования задачи выполнены, правильно ли.

3. Составьте план решения задачи. Какой пункт в решении задачи будет последним? (Работа над задачей заканчивается проверкой ее решения).

Учителю необходимо побуждать учащихся проверять выполнение любого упражнения, задачи в том числе.

Существуют следующие способы проверки решения задачи:

1. анализ ответа и прикидка ответа;

2. решение задачи другим способом;

3. подстановка результата в условие (установление соответствия между числами из условия и результатом);

4. составление и решение обратных задач;

5. сверка результата с ответом, данным в конце учебника (в начальной школе – сообщенным учителем).

Некоторые методисты относят графический способ решения задачи к отдельному способу проверки. На наш взгляд, этот способ относится к решению задачи другим способом.

Ожидаемый ответ задачи должен быть проанализирован, например, при ответе на вопрос «Сколько квартир на этаже?» явно не должно быть числа (–159) или 5,7 квартиры.

Прикидка обычно проводится перед решением задачи, устанавливаются границы значений искомого числа. После получения ответа проверяют, удовлетворяет ли он выбранным границам. В случае несоответствия делают вывод о неправильности результата.

Применять этот способ можно как для простых, так и для составных задач. Данный способ является необходимой частью анализа задач в косвенной форме, в связи с тем, что еще до решения задачи нужно выяснить, какое число получится в ответе – больше или меньше данного. Проиллюстрируем применение этого способа проверки конкретными примерами.

1) «Торт стоит 20 грн., а коробка конфет 8 грн. На сколько гривень коробка конфет дешевле торта?».

Прочитайте задачу. Что в задаче известно? (Цена торта 20 грн., цена коробки конфет 8 грн.). Значит, в ответе задачи должно получиться число, меньшее 20 на 8. Выполняя решение задачи, дети получат

20 – 8 = 12 (грн.), что подтверждает правильность предыдущих рассуждений.

2) «Сыну 8 лет, что на 25 лет меньше, чем отцу. Сколько лет отцу?».

Прочитайте задачу. Подумайте, какое число должно получиться в результате? Больше или меньше, чем 8? (Больше, так как отец старше сына). На сколько больше? (На 25).

3) «В одном бидоне осталось 4 литра молока, а во втором – 6 литров. Сколько литров молока осталось в двух бидонах?»

Данная задача относится к разряду задач, трудных для восприятия детьми, поскольку они привыкли, что слово «осталось» связано с действием вычитания. Для предупреждения ошибки в решении необходимо использовать прикидку. Дети должны прийти к выводу, что в результате должно получиться число, большее, чем каждое из чисел условия.

4) «В одном ящике 5 кг помидоров, а в другом 8 кг таких же помидоров. Сколько нужно заплатить за каждый ящик, если вся покупка стоит 26 грн.?»

Какова стоимость каждого ящика? Больше или меньше стоимости всей покупки? (В результате должно получиться два числа, меньших, чем 26). Какой ящик стоит дороже? (Второй). Почему? (Так как в нем больше помидоров). После выполнения решения задачи, получаем, что первый ящик стоит 10 грн., а второй – 16 грн. (10<16).

Однако стоит отметить, что данный способ проверки целесообразно применять не для всех задач.

Решение задачи другим способом можно применять лишь в том случае, если таковой существует. При совпадении результатов в обоих способах решения делается вывод о его правильности.

Например:

Из двух сёл, расстояние между которыми 69 км, навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через какое время они встретятся, если скорость одного 11 км/ч, а другого – 12км/ч.

Решение:

1 способ:

1) Какова скорость сближения?

11 км/ч + 12 км/ч = 23 км/ч

2) Через сколько часов они встретятся?

69 км : 23 км/ч = 3 ч.

Ответ: велосипедисты встретятся через 3 часа.

2 способ:

Пусть х часов – время движения до встречи. Тогда один из велосипедистов до встречи проехал 11х (км), а второй – 12х (км). Учитывая общее расстояние, пройденное ими, составим уравнение:

11х + 12х = 69

23х = 69

х = 3 (ч).

Ответ: велосипедисты встретятся через 3 часа.

Вывод: при различных способах решения получены одинаковые ответы, следовательно, задача решена верно.

Проверим решение этой задачи подстановкой. Действительно, если оба велосипедиста находились в пути до встречи 3 часа, то:

11·3 = 33 (км) – прошел первый до встречи;

12·3 = 36 (км) – прошел второй;

33+36 = 69 (км) они прошли вместе.

Вывод: задача решена верно.

Составление и решение обратных задач – один из интереснейших способов проверки задачи. Традиционная методика рекомендует вводить его лишь во втором классе, однако, работая в системе укрупнения дидактических единиц, составлять и решать обратные задачи начинают в первом классе при изучении обратных действий сложения и вычитания [18]. При этом дети наиболее полно понимают связи между величинами и наблюдают обратные по отношению друг к другу действия. Часто обратная задача бывает сложнее прямой. Работа над обратными задачами не будет сложной, если начать её как можно раньше. Дети всегда с удовольствием составляют и решают задачи, обратные данной.

Обратной задачей к данной является та, которая содержит искомое число в качестве известного, а какое-либо из известных чисел прямой задачи становится неизвестным.

Например, эти задачи являются обратными:

1. Из двух сёл, расстояние между которыми 69 км навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через какое время они встретятся, если скорость одного 11 км/ч, а другого – 12км/ч.

2. Из двух сел навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста и встретились через 3 часа. Каково расстояние между селами, если их скорости 11 км/ч и 12 км/ч соответственно.

К данной задаче можно составить ещё 2 обратные задачи, где искомыми будут являться скорости велосипедистов. Составьте их и решите все задачи.

Рассмотрим традиционную методику работы над обратными задачами. Многие методисты отмечают проявление некоторого формального отношения к использованию этого приема работы.

В учебнике математики для II класса предложено несколько заданий, требующих составления обратных задач. Этот вид упражнений является полезным и эффективным средством при овладении учащимися умением решать арифметические задачи. В процессе этой работы учащиеся осмысливают и углубляют знания связей между различными величинами, например: «цена – количество – стоимость» или «расход чего-либо на единицу – количество единиц – общий расход» и другими.

Составление обратных задач также рассматривается методистами как один из видов творческих упражнений, направленных на преобразование одной задачи в другую, на сравнение их условия, решении, ответов. Однако, отмечает, что «составление обратной задачи как способ проверки можно использовать для любой задачи, но он громоздкий и его следует применять, преследуя одновременно и другие цели работы над задачей» [3, с.47].

К сожалению, составление обратных задач учителя не всегда связывают с проверкой решения задач. Причина может быть не только в громоздкости, но и в невладении методикой данной работы. Это не позволяет учителю полностью использовать возможности обратных задач, либо ведет лишь к формальному выполнению проверки.

Для выполнения проверки решения прямой задачи способом составлением обратной задачи и ее решения, дети должны овладеть следующим алгоритмом:

1. решить исходную задачу;

2. подставить результат в текст исходной задачи в качестве известного данного;

3. обозначить новое неизвестное в задаче;

4. составить новую задачу по отношению к данной;

5. решить составленную задачу;

6. сравнить полученный результат с тем данным, которое сделали неизвестным;

7. сделать соответствующий вывод (если числовые значения совпадут, то задача решена верно).

Осознанное выполнение полного состава действий данного алгоритма является обязательным дидактическим условием. Проверка считается выполненной, если сделаны выводы на основе сравнения числа, полученного при решении обратной задачи с данным числом прямой задачи. Выполнение этого действия позволяет сделать вывод о правильности или неправильности решения задачи.

Рассмотрим фрагмент урока во втором классе по теме «Знакомство с обратными задачами».

К учебным целям урока относятся:

а) познакомить детей с понятиями «прямая задача», «обратная задача»;

б) раскрыть прием составления задачи, обратной данной;

в) показать, что составление обратной данной задачи и ее решение можно рассматривать как один из способов проверки решения задачи;

г) познакомить детей с алгоритмом проверки прямой задачи путем составления и решения обратной.

Ход урока:

Дети самостоятельно решают задачу: «Коробка конфет и торт вместе стоят 19 грн. Конфеты стоят 8 грн. Сколько стоит торт?»

Дети решают задачу, записывают решение

19 – 8 = 11 (грн.).

Далее работу можно организовать так: О чем решали задачу? (О конфетах и торте). На доске появляется иллюстрация задачи.

Что было известно в задаче? (За всю покупку уплатили 19 грн., а за конфеты 8 грн.). Что узнавали в задаче? (Сколько стоит торт. Он стоит 11 грн.). Все числовые значения учитель подписывает под рисунками на иллюстрации задачи. Как узнали цену торта? (От 19 грн. отняли 8 грн.). Почему выбрали действие вычитания? (19 грн. стоят торт и конфеты, следовательно, торт стоит меньше 19 грн. на 8 грн.).

Далее учитель закрывает запись общей стоимости покупки знаком вопроса, знак вопроса – записью цены торта. Что теперь известно в задаче? (Купили торт за 11 грн. и коробку конфет за 8 грн.). Что нужно узнать? (Сколько заплатили за всю покупку). Мы получили новую задачу. Сформулируйте условие задачи по этим данным. (Купили торт за 11 грн. и коробку конфет за 8 грн. Сколько стоит вся покупка?).

После анализа нового условия задачи дети ее решают и записывают решение в тетрадь.