11 + 8 = 19 (грн.).
Какой ответ получили? (Вся покупка стоит 19 грн.). Чему была равна стоимость всей покупки в первой задаче? (Тоже 19 грн.). Можем ли мы сказать, что при решении первой задачи цена торта найдена правильно? Почему вы так думаете? (В решении новой задачи получили 19 грн. – это стоимость всей покупки. В первой задаче дано было 19 грн. Значит, цену торта мы нашли правильно, потому, что 11 грн. и 8 грн. – это 19 грн.). Итак, мы проверили решение первой задачи.
Что мы для этого делали? (Составили новую задачу и ее решили). Подумайте, когда мы точно можем сказать, задача решена правильно. (Если мы составим и решим новую задачу и в ответе получим число, которое было дано в первой задаче, значит, первая задача решена правильно).
Запомните: исходная задача, которую мы решали первой называется прямой задачей, а новая задача, которую мы составили для проверки решения прямой задачи, называется обратной задачей. С помощью решения обратной задачи мы проверили решение данной задачи.
Что же мы делали, чтобы составить обратную задачу. (Число, которое было известным в условии задачи, мы сделали неизвестным, а неизвестное — известным).
Подумайте, можно ли еще составить задачу, обратную данной прямой задаче. (Можно, если принять за неизвестное цену коробки конфет).
Составьте вторую обратную задачу, решите ее и докажите, что решение обратной задачи позволяет проверить решение данной задачи.
Далее понятие обратной задачи и способа проверки с ее помощью закрепляется по учебнику.
В результате проделанной работы учащиеся должны усвоить, что для составления обратной задачи необходимо преобразовать предложенную задачу так, чтобы ее искомое стало известным числом, а одно из данных чисел стало искомым. Кроме этого, если при решении обратной задачи в результате получили число, которое было известное прямой задаче, то можно с уверенностью сказать, что предложенная задача была решена правильно.
При составлении обратных задач к задачам, в основе решения которых лежат знания конкретного смысла арифметических действий, учащиеся обычно не допускают ошибок. Однако часто ошибаются в составлении обратных задач к задачам, содержащих отношения «больше» и «меньше», заменяя не полученные числа, а само отношение. Это говорит о том, что у учащегося, который допускает такую ошибку, не сформировалось понятие «обратная задача».
Рассмотрим конкретный пример: учащиеся, составляя обратную задачу к задаче: «В одной коробке 15 карандашей, а в другой на 5 карандашей меньше. Сколько карандашей во второй коробке?», составили такую задачу: «В одной коробке 15 карандашей, а в другой на 5 карандашей больше. Сколько карандашей во второй коробке?». Причина ошибки может быть в том, что ученики, считая, что обратная задача должна решаться действием, обратным прямой, составляют задачу, которая решается действием сложения, которое обратно действию вычитания. Это показывает на формальное усвоение знаний этими учениками. Действительно, составленная учащимися задача решается действием сложения, являющимся обратным к действию вычитания. Однако, эту задачу нельзя рассматривать как обратную к исходной, так как при ее составлении было заменено отношение между данными, а не числовые значения и вопрос.
Для устранения этой типичной ошибки полезно использовать в сравнении краткие записи условий как прямой, так и обратных задач.
Прямая задача | Обратные задачи | |
I – 15 кар. | I – 15 кар. | I – ? кар. |
Схематическое изображение задачи позволяет учащимся пронаблюдать, что при составлении обратной задачи изменяются только числовые значения, отношения в задаче остаются неизменными.
С другой стороны, если бы обратная задача составлялась с целью проверки решения предложенной задачи, то учащиеся могли бы сами обнаружить свою ошибку. Ведь они при решении обратной задачи получили число, которое не соответствует ни одному из числовых значений прямой задачи.
Часто случается так: ученик решает задачу, а затем проверяет ее решение действием, обратным к выполненному, не составляя текст обратной задачи. Такая «проверка» не всегда позволяет убедиться в правильности решения прямой задачи, а проверяется лишь правильность вычисления, а не правильность выбора арифметического действия. Часто дети, у которых еще не сформирован конкретный смысл арифметических действий, вне зависимости от контекста задачи, решают задачи, в которых содержатся слова «улетели», «вышли в море», «съели», «уехали» и т. д. действием вычитания, хотя в задаче может спрашиваться сколько всего выехало, улетело, ушло и т. д. Рассмотрим конкретную задачу. «В море вышли 5 сейнеров и 4 катера. Сколько кораблей вышло в море?» Ученик, ориентируясь на слово «вышли» ассоциирующееся с процессом уменьшения, выбирает действие вычитания: 5–4=1. Составленное обратное действие (4+1) не позволяет ему выявить ошибочность выбора арифметического действия, так как работа идет в отрыве от математического содержания задачи. Ученик при решении получает в ответе числе 5 и успокаивается, хотя проверил лишь вычисление. А ведь в предложенной задаче необходимо было найти сумму двух слагаемых (все корабли – это сейнеры, их 5, и катера, их 4). Если бы ученик при проверке решения задачи составил условие обратной задачи, а не ограничился только составлением обратного действия, он получил бы следующее: «В море вышел 1 корабль. Из них 4 катера и несколько сейнеров. Сколько сейнеров вышло в море?» Полученное условие задачи противоречиво, поэтому можно было бы сделать вывод об ошибке в решении.
Чаще всего причина такого роди ошибок в том, что у учащегося не сформирован алгоритм проверки решения задачи. Раскрытие алгоритма проверки решения арифметических задач должно стать предметом специального рассмотрения, когда раскрывается содержание каждого действия, входящего в процесс проверки, обосновывается последовательность их выполнения, что приводит к пониманию и осознанию самого приема работы.
Как же можно организовать работу над обратными задачами с первого класса? Рассмотрим методику, предложенную . В методике УДЕ применяются укрупненные задания, которые, как правило, состоят из выполнения трех последовательных пунктов:
При таком подходе к работе над обратными задачами (и в качестве способа проверки решения и в качестве творческой работы над задачей) учащиеся при составлении обратных задач не допускают ошибок, описанных ранее.
Рассмотрим конкретные примеры.
Дети рассматривают картинку, на которой мальчик с 5 марками в альбоме и девочка с 2 марками [18].
Учитель предлагает составить задачу по картинке.
«У мальчика было 5 марок, а у девочки 2 марки. Сколько марок у детей вместе?»
Учитель делит доску на три части вертикальными линиями (в задаче три числа, значит, кроме прямой задачи можно будет составить еще две обратных задачи). Дети делают то же самое в тетради. Квадратик неизвестного числа можно рисовать и ручкой и карандашом, после решения полученный результат заносить в этот квадратик. В верхней строке таблицы записывается так называемая «схема задачи» (термин ), т. е. сначала по порядку записываются числа, которые даны в задаче, а затем ставится «окошечко» для записи неизвестного числа.
В первую колонку заносится решение первой задачи.
Учитель говорит, что решена прямая задача, но к данной прямой задаче можно составить две обратных. В первой задаче предлагается сделать неизвестным число 5. Запись приобретает вид:
Учитель предлагает составить задачу по данной схеме.
«У мальчика и девочки всего было 7 марок. Из них 2 марки было у девочки. Сколько марок было у мальчика?»
Учитель спрашивает, как решить задачу. Дети говорят, что от 7 марок отнять 2 марки останется 5 марок. Запись будет такая:
Аналогичная работа проводится по составлению и решению второй обратной задачи.
«У мальчика и девочки всего было 7 марок. Сколько марок было у девочки, если у мальчика было 5 марок?»
Окончательная запись в тетради учащегося будет такая:
Дети записывают решения трех взаимообратных задач в трех колонках, вверху схема задачи, внизу – решение задачи.
И при введении задач обратных задач по методике УДЕ и по традиционной методике обратите внимание на трудности, которые возникают у учащихся при составлении текста обратных задач. Дети часто пытаются составить обратную задачу по аналогии с прямой задачей. Например: «Дети собирали марки. У мальчика было неизвестно сколько марок, а у девочки 2. А вместе марок у детей 7». Полученная формулировка, конечно, может быть использована. Однако детям стоит показывать различные образцы формулировок задач, убеждать в том, что текст задачи должен быть сформулирован таким образом, чтобы она была понятна всем, кто ее будет решать, чтобы задача была «красивой», «благозвучной», при этом четкой и без лишней информации (первая фраза в задаче «Дети собирали марки»).
Составление и решение обратных задач не только является интересным способом проверки решения задачи, но и творческой работой над задачей. Кроме того, решение обратных задач является одним из приемов насыщения урока задачами.
Если вам удобно работать над задачей с учащимися по другой краткой записи (дети привыкли использовать именно такую форму или другие причины):
Мальчик – 5 м.
Девочка – 2 м.
Всего – 7 м.,
то схему для работы по составлению обратных задач можно, на наш взгляд, записывать после решения прямой задачи, при этом, не заполняя вторую строчку предложенной таблицы. Запись задачи может выглядеть так:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
