Синтетический и аналитический методы решения задач (стр. 8 )

Однако, иногда случается так, что дети принимают полную задачу за задачу либо с лишними, либо недостающими данными.

Например:

1. Турист 3 ч шел пешком со скоростью 5 км/ч, потом 4 ч ехал на поезде, скорость которого в 12 раз больше, а оставшийся путь он проехал на автобусе за 8 ч. С какой средней скоростью двигался турист, если скорость автобуса равна 3/4 скорости поезда?

В этой задаче нужно найти скорости движения туриста на каждом из этапов пути, найти все расстояние, пройденное туристом, и разделить это расстояние на общее время в пути.

Однако, дети, видя скорость движения на каждом этапе, часто хотят найти не среднюю скорость за все время движения, а среднюю скорость на трех этапах, ища среднее арифметическое трех скоростей, т. е., по представлению детей данная задача является как бы задачей с избыточными (лишними) данными.

2. Через один кран бассейн заполняется за 15 часов, а через другой – за 10 часов. За сколько часов заполнится бассейн, если краны будут работать вместе?

При решении этой задачи нужно обозначить объем бассейна за 1, потом найти производительность 1-го крана и 2-го крана, потом результаты сложить. Но учащиеся начальной школы, не знакомые с обыкновенными дробями, посчитают эту задачу как задачу с недостающими данными.

Включение задач с лишними и недостающими данными в курс математики в начальных классах является и одной из составляющих формирования навыков контроля и самоконтроля младших школьников, на основе которых у учащихся в дальнейшем формируются критерии, позволяющие учащимся самостоятельно находить ошибки в решениях заданий (не только текстовых задач). К ним можно отнести следующие критерии:

§ соотношение результата с действительностью;

§ соотнесение полученного результата с данными задачи и сравнение с первоначально ожидаемым результатом;

§ проведение операций в обратном порядке;

§ исследование ответа в предельных ситуациях (что будет, если….);

§ решение задания другим способом и сверка результатов;

§ проверка хода решения с обращением внимания на следующее: а) все ли данные использованы; б) достаточно ли данных для решения; в) не нарушена ли логика решения; г) не используются ли в решении те сведения, которые не вытекают непосредственно из условия задачи; д) прослеживается ли логика решения.

Также можно предложить детям задачи с вопросом, в котором спрашивается то, что уже известно в задаче. Например: «На грядку высадили 15 кустов смородины и 5 кустов крыжовника. Сколько кустов крыжовника высадили?» Применение задач такого рода также позволяет ученикам глубже осмыслить понятие задачи, ее структуры.

Упражнения

1. Найдите в действующих учебниках математики задачи с недостающими данными. Как вы думаете, почему они расположены именно в разделе «Занимательные задачи»?

2. Дана задача: «Пальто, костюм и ботинки стоят 100 грн. Пальто стоит 50 грн., костюм 38 грн. Сколько стоят ботинки?» Сделайте схему разбора этой задачи. Переделайте эту задачу в задачу с недостающими данными; в задачу с лишними данными; в противоречивую задачу. Как все это отражается на схеме разбора задачи? В чем ценность таких задач? Какая из переделанных задач способна дать серию задач при работе с ней?

Работа над деформированными задачами

Под деформированной задачей будем понимать задачу, в которой вместо числовых данных или ключевых слов стоят «окошки». В «окошки» нужно вставить недостающие числовые данные либо слова и решить полученную задачу.

Например:

1. Сын c отца на 25 лет. Сколько лет сыну, если отцу 45 лет?

2. В вазе стояло c белых роз и 14 красных. Сколько всего роз в вазе?

3. Мише надо решить 15 примеров. Он уже решил c примеров. Сколько примеров ему осталось решить?

Использовать деформированные задачи можно с различными целями: как подготовительную работу к чему-либо (введению составных задач и др.), для иллюстрации и закрепления свойств арифметических действий, как самостоятельный объект изучения, как творческую работу над задачей и т. д.

Работа над деформированными задачами содержит в себе большие возможности для учителя. и отмечают, что «где выполняется деформированное упражнение, там срабатывает механизм обратной связи, а там, где есть непрерывная подсознательная коррекция и исправление ошибок, там и достигается прочность знаний» [22, с. 94].

Анализ условия деформированной задачи позволяет детям наиболее полно осмысливать связи в задачах, определение границ числа, которое можно подставить в «окошечко» или аргументация выбора соответствующего слова заставляет детей представлять реальную ситуацию, моделью которой является задача.

Рассмотрим функции деформированных задач.

Деформированные задачи можно использовать в качестве подготовительных для введения составных задач ():

1. В одном цехе 10 станков, а в другом на 4 станка меньше. Сколько станков во втором цехе?

2. В одном цехе 10 станков, а в другом c станков. Сколько станков в двух цехах?

После решения первой задачи, учитель предлагает детям прочитать вторую задачу. Дети замечают, что вторую задачу решить нельзя, так как нет конкретного числа станков во втором цехе. Тогда учитель предлагает ответ первой задачи использовать в условии второй задачи вместо «окошечка». Дети формулируют новую задачу и решают ее.

При помощи деформированных задач также осуществляется функциональная пропедевтика в начальной школе (, ). Например: «На грядке росло 12 тюльпанов. Для букета срезали c тюльпанов. Сколько тюльпанов осталось на грядке?» (СНОСКА: [Б1, С.64.])

При работе над этой задачей дети должны подобрать числа, которые можно подставить в «окошко» (пропедевтика понятия переменной величины), а также определить границы данного числа (пропедевтика понятия области допустимых значений переменной). Через урок вводится понятие переменной (буквы) в выражении.

Однако, далее деформированные задачи в учебниках почти не встречаются, хотя их можно использовать как один из приемов насыщения урока задачами, а также в творческой работе над задачей.

На примере конкретной задачи рассмотрим методические проблемы и возможности, возникающие при деформации задач. Дано задание: «На одном тракторе работали в течение недели 60 ч, а на другом – 55 ч. На втором тракторе при одинаковой норме расхода за неделю израсходовали горючего на c, чем на первом. Сколько литров горючего израсходовали на каждом тракторе за неделю? Текст задачи испорчен, надо восстановить и решить задачу. Как вы думаете, какие данные в тексте испорчены?» В данной задаче пропущено не только число, но и отношение «меньше на». Пытаясь восстановить текст задачи, дети активно и самостоятельно анализируют ее содержание. Для того, чтобы подобрать нужные данные, они должны понять, о чем идет речь в задаче, установить смысловые, причинно-следственные связи, догадаться о наличии конкретной связи и проверить правильность предположения. Анализ содержания задачи становится активным и более быстрым, так как сознание детей направлено не на сам анализ, а на восстановление текста. Это значит, что большая часть работы по анализу содержания задачи проходит в блочных, свернутых формах (законы УДЕ). Для того, чтобы восстановить текст, ребенок должен рассуждать и делать выводы. Дети догадались, что пропущено число и слово. Но какое слово? Раз написано «на», то это слово либо «больше», либо «меньше». И тут самые догадливые понимают, что не может быть слова «больше», только «меньше». Почему? Потому, что второй трактор работал меньше времени, значит и горючего израсходовал меньше. А разве это правильное рассуждение? Ну и что, что он работал 55 часов, а не 60 часов. Ведь может у него такой мощный мотор, что он за это время горючего больше потратил. И дети должны заметить, что норма расхода горючего у обоих тракторов одинакова. Значит, действительно, второй трактор потратил горючего меньше. Нужное слово найдено «меньше». Что полезного в проделанной работе? Дети рассуждали, спорили, отстаивали свою правоту. Значит шел активный анализ связей в задаче. Дети выделили прямо пропорциональную зависимость между временем работы и расходом горючего при постоянной норме расхода горючего.

Теперь надо подобрать число. На сколько литров горючего меньше мог израсходовать за неделю второй трактор? Возникает проблема: для того, чтобы подобрать число, нужно иметь жизненный опыт, нужно хотя бы примерно знать нормы расхода горючего в неделю. Если дети подбирают большие числа, можно рассказать о цене литра горючего для трактора, что, допустим, если недельные расходы каждого трактора отличаются на 1000 л, то это очень дорого и т. д. Мальчишки, обычно, интересуются техникой, и могут знать приблизительно недельную норму расхода горючего для трактора. Если знатоком по нормам расхода окажется ученик, которого до этого в классе не замечали, то его заметят, а он, в свою очередь, поймет, что задачи – это интересно. Если никто так и не подберет числа, – предлагайте сами. Итак, дети предлагают числа, и решают задачи, которые получились. Можно использовать такие варианты краткой записи:

Таблицей

	Норма расхода	Время	Расход горючего
I	?	60 ч	?
	Одинаковая
II	?	55 ч	?, на … л меньше

Отрезками

Дальше дети видят, что разница в расходе горючего приходится на 5 часов работы трактора, значит, для того, чтобы задача решалась, нужно подобрать число, которое делится на 5. В результате в неявном виде повторяется таблица деления на 5, подбираются внетабличные случаи деления на 5, таким образом, решается целая серия примеров. Если записывать решение задач выражением, то при различных данных будет получена серия задач и выражений к ним:

35 л	35: (60–55)Ч 60=420 (л)	420–35=385 (л)
30 л	30: (60–55)Ч 60=360 (л)	360–30=330 (л)
25 л	35: (60–55)Ч 60=300 (л)	300–25=275 (л) и т. д.

Таким образом, решена не одна задача, а целая серия задач, на которую потрачено меньше времени, чем при решении каждой задачи отдельно на другом уроке.