Синтетический и аналитический методы решения задач (стр. 7 )

9. Объяснение выражений, составленных по условию задачи (дается условие задачи и числовые выражения, составленные по условию, детям предлагается объяснить, что можно найти каждым из этих выражений).

10. Выбор решения задачи (дается текст задачи и решения, из которых нужно выбрать правильное).

Развивающие функции задач в обучении математике в начальных классах

Как было сказано выше, задачи в начальном курсе математики выполняют разнообразные функции – обучающие, воспитывающие, развивающие, контролирующие и т. п.

Рассмотрим развивающие функции задач.

Как известно, усвоение основного курса начальной математики не влечет за собой ни математического, ни общего развития. К сожалению, современные учителя часто уравнивают или подменяют одно другим понятия «развитие» и «информированность». Выготский на вопрос «Чем отличается в умственном развитии ребенок, которого мы научили читать, от ребенка, который читать не умеет?» отвечал, что только одним – он умеет читать. В умственном же развитии этого ребенка ничего не прибавляется, «это тот же самый ребенок, только грамотный».

Как же усилить развивающую функцию задач, не ослабляя при этом других функций?

В начальных классах изучается достаточное количество задач обучающего характера, усиление развивающих функций которых можно осуществлять по следующим направлениям:

§ решение нестандартных задач;

§ решение задач с логической нагрузкой;

§ организация работы над задачей после ее решения (последующей работы) при помощи специально подобранной системы вопросов;

§ работа над системами целесообразно подобранных задач;

§ работа над задачами по системе УДЕ ();

§ работа над задачами по технологии обучения математике на основе решения задач ();

§ использование технологии свободного выбора учебных заданий на уроках математики () и т. д.

Таким образом, в обычном уроке математики в начальных классах при работе над обучающими задачами можно целенаправленно усиливать их развивающие функции.

Рассмотрим, как можно провести работу над задачей при помощи различных групп специально подобранных вопросов. Вопросы должны адресовываться не только к памяти учащихся, их знанию фактического материала, но и к мышлению учащихся, должны заставлять учащихся в процессе поиска ответа использовать различные мыслительные операции.

1) Группа вопросов на сравнение.

Вопросы на сравнение	Полное сравнение	Сравни задачи (данные в задачах и т. д.). Чем они похожи? Чем отличаются?
Неполное сравнение	Сравни. В чем только сходство (или только отличие)?

Часто в учебниках начальной школы используются задачи, которые приводятся в парах. Рассмотрим некоторые из них.

Реши и сравни задачи:

1. У Гали было 15 открыток. На переписку она израсходовала 10 открыток. Сколько открыток осталось у Гали?

2. На переписку Галя израсходовала 10 открыток. У нее осталось еще 5 открыток. Сколько открыток было у Гали? (СНОСКА: [Б1, С. 79])

В сравнении приводятся задачи на нахождение остатка и нахождение неизвестного уменьшаемого. Первая задача решается действием вычитания, а вторая – действием сложения.

При работе над данными задачами можно просто ограничиться одним из вариантов неполного сравнения каких-либо ее составляющих (условия, сюжет, числовые данные, решения), однако, лучше использовать возможность провести полное сравнение. Сначала прочитать задачи, сравнить их тексты, затем решить задачи, сравнить решения.

Приему сравнения (полного и неполного) детей необходимо целенаправленно обучать. (СНОСКА: Подробнее [8, c. 169-173])

Применение приема сравнения при работе над задачами, приведенными в группе, позволяет также предупреждать наиболее часто встречающиеся ошибки учащихся (см. методику УДЕ).

2) Группа вопросов, требующих установления основных характерных черт, признаков понятий и предметов, рассматриваемых в задачах.

Например, рассмотрим задачи: «Найти периметр прямоугольника, если его стороны равны 15 см и 6 см» и «Чему равен периметр квадрата со стороной 7 см?» Если в задаче идет речь о данных геометрических фигурах, то в последующей работе над этой парой задач можно спросить у детей: «Всякий ли квадрат является прямоугольником?», затем «Всякий ли прямоугольник является квадратом?». В данной ситуации используется прием подведения под понятие «прямоугольник» и «квадрат».

3) Группа вопросов, направленных на установление причинно-следственных связей.

§ Установление причины по данному следствию.

Рассмотрим деформированную задачу: «Мама принесла c яблок, 8 отдала детям, а из 8 сварила компот. Сколько яблок осталось?»

Из данной задачи можно получить задачи, которые решаются, а также задачи с какими-либо несоответствиями, нестыковками данных. Например: «Мама принесла 18 яблок, 8 отдала детям, а из 8 сварила компот. Сколько яблок осталось?» или «Мама принесла 15 яблок, 8 отдала детям, а из 8 сварила компот. Сколько яблок осталось?» Вопрос: «Как вы думаете, можно ли решить каждую из этих задач?» Вторая из задач требует тщательного анализа условия. Если она сформулирована таким образом, то точно не ясно, какие яблоки использовала мама – только те что, принесла, или еще те, которые уже были у нее дома. Т. е. условие задачи требует уточнения. В данном случае мы можем получить задачу, которая не решается или задача может быть и задачей с недостающими данными.

Если эту задачу сформулировать точнее «Мама принесла 15 яблок. Из них 8 яблок отдала детям, а из 8 сварила компот. Сколько яблок осталось?» Вопрос: «Как вы думаете, почему нельзя решить эту задачу?» (Нельзя использовать из 15 яблок больше, чем их есть в наличии). Взяли 16 яблок – причина, нельзя решить задачу – следствие.

3) По выражению 7Ч4+12:3 составьте задачу на нахождение стоимости.

Выполните это задание. Проанализируйте, какие трудности встречают дети при его выполнении. В чем ценность таких упражнений? Составьте еще 3 упражнения, преследующие те же цели.

Задачи с недостающими или избыточными данными, нереальные задачи

Введем понятие задач с достаточным количеством данных, с недостающими данными и избыточными данными (по ).

Если между условием задачи (А) и ее требованием (Х) установлено соотношение, определяющее одно или несколько определенных решений, то задачу считают определенной. Этот тип задачи можно условно изобразить формулой импликации: AЮX, которую будем понимать так: условие А содержит достаточно и только достаточно данных для выполнения требования Х.

Если из условия А опустить какое-либо данное ak, то получим задачу неопределенную (с недостающими денными), которая имеет бесконечное множество решений, зависящих от бесконечного множества значений той величины (параметра), которой принадлежало значение ak.

В случае, если условие, кроме А содержит еще некоторые данные an+1, то задачу называют переопределенной (с избыточными данными). Переопределенные задачи могут иметь решения в случае, если лишние данные не противоречат друг другу [19, c.176-177].

Нереальными задачами будем называть задачи, числовые данные которых делают их лишенными смысла (по ). Каждая из этих задач является типовой, но числовые данные делают ее нереальной. Например:

1. Периметр прямоугольника 8 см, а сумма двух его сторон 6 см. Найти длину стороны.

2. Иван на два года моложе Петра, Петр четырьмя годами старше Степана, Андрей на три года старше, чем Петр, Иван равен по возрасту Степану. Кто старше – Андрей или Иван? [19, c.151].

Применение при обучении решению задач с недостающими и избыточными данными, нереальных задач имеет большое значение. При помощи этих задач можно не только выяснить насколько дети понимают связи в задаче, но и при работе над одной задачей с избыточными данными иногда удается составить и решить еще несколько задач, что является одним из приемов насыщения уроков задачами.

Например:

1. Маша отдала несколько открыток подруге, после чего у нее осталось 5 открыток. Сколько открыток отдала Маша подруге?

После выяснения, какого данного не хватает для возможности решения задачи, ученикам можно предложить самостоятельно подобрать, сколько открыток было у Маши, и решить при этом несколько задач вместо одной.

2. К чаю подали 9 пирожных «эклер», 6 пирожных «корзиночек» и 12 шоколадных конфет. Съели 11 пирожных. Сколько пирожных осталось?

Следует выяснить, какие данные лишние, как изменить вопрос или что изменить в условии, чтобы использовать все данные. Опять решается не одна, а несколько задач.

Задачи с избыточными данными могут быть противоречивыми и непротиворечивыми. На наш взгляд, детям обязательно нужно показывать такие задачи.

Рассмотрим работу над задачами такого вида на конкретных примерах. Даны задачи: а) «Дети сорвали 24 яблока. 8 яблок они съели, а остальные поделили поровну. Сколько яблок получил каждый ребенок?»; б) «Таня и Сережа сорвали 18 яблок. Таня сорвала 6 яблок, а Сережа в 2 раза больше. Сколько яблок сорвал Сережа?»; в) «Таня и Сережа сорвали 18 яблок. Таня сорвала 6 яблок, а Сережа в 3 раза больше. Сколько яблок сорвал Сережа?». Составим схемы разбора каждой из предложенных задач.

Задача а)

Задача (а) является задачей с недостающими данными. Она напоминает деформированную задачу, однако, в отличие от деформированной задачи, не имеет «окошка», т. е. конкретного указания на то, что пропущено данное. Эту задачу можно использовать для составления каскада задач.

Задачи (б) и (в) являются задачами с избыточными (лишними) данными. Однако одна из них может быть решена и непротиворечива, а другая не имеет однозначного решения, данные в ней противоречат друг другу.

Задача б)

Данная задача, решенная с использованием каждой пары данных, дает одинаковый ответ (12 яблок сорвал Сережа). Таким образом, эта задача не содержит противоречивых данных.

Задача в)

Эта задача, решенная с использованием каждой пары данных, дает разные ответы, которые противоречат друг другу: Сережа сорвал 12 яблок, и Сережа сорвал 18 яблок. Таким образом, задача не имеет однозначного решения.