Квадратное уравнение (стр. 2 )

Ответ: 80 км/ч.

Пример 3. Двое рабочих обязались выполнить определенную работу за 16 дней. После четырехдневной совместной работы первый рабочий перешел на другую работу. А второй рабочий один закончил оставшуюся часть работы, потратив на 12 дней больше того времени, за которое первый рабочий один может выполнить всю работу.

За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить всю работу?

Решение. Предположим, что первый рабочий может выполнить всю работу за дней, тогда за один рабочий день он должен выполнить часть всей работы.

При совместной работе производительность за день равна части всей работы;  следовательно, на долю второго рабочего приходится в день части всей работы. С другой стороны, второй рабочий должен выполнить в день части всей работы, так как за 4 дня их совместной работы была выполнена всей  работы; следовательно, на долю второго рабочего осталось выполнить всей работы за дней.

Отсюда: Левая и правая части уравнения выражают одну и ту же величину – дневную норму второго рабочего.

Преобразуя полученное уравнение, имеем:

Решая квадратное уравнение, находим: Второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Первый рабочий выполнит всю работу за 24 дня. Теперь можно вычислить, за сколько дней выполнил бы всю работу второй рабочий. За один рабочий день он выполнит  часть всей работы. 

Следовательно, всю работу второй рабочий выполнит за 48 дней.

Ответ: 24 дня; 48 дней.

Упражнения

Упражнения из группы  А

Задача 1.

Первое число больше второго на 10. Найдите эти числа, если их произведение равно 56.

Задача 2.

Одно число меньше другого на 16, а их произведение равно 80. Найдите эти числа.

Задача 3.

Ширина прямоугольника на 3 см меньше его длины. Найдите ширину прямоугольника, если его площадь равна 130 см2.

Задача 4.

Сумма двух смежных сторон прямоугольника равна 27 см. Найдите стороны прямоугольника, зная, что его площадь равна 180 см2.

Задача 5.

Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится Найдите исходную дробь.

Задача 6.

Знаменатель обыкновенной дроби больше ее числителя на 7. Если к этой дроби прибавить обратную ей дробь, то получится   Найдите исходную дробь.

Задача 7.

Моторная лодка прошла 10 км по течению реки и 12 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки.

Задача 8.

Моторная лодка прошла 17 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость моторной лодки равна 15 км/ч.

Задача 9.

Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них для выполнения всей работы потребуется на 10 дней больше, чем другому?

Задача 10.

Двое рабочих, работая вместе, завершили работу за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждому рабочему на выполнение этой работы, если одному для этого требуется на 5 дней меньше, чем другому?

Задача 11.

Пройдя 12 км, лыжник увеличил скорость на 3 км/ч и проехал еще 30 км. Найдите первоначальную скорость лыжника, если на весь путь он потратил 3 ч.

Задача 12.

Проехав 45 км, лыжник уменьшил скорость на 3 км/ч и проехал еще 24 км. Найдите первоначальную скорость лыжника, если на начальное расстояние он потратил на 1 ч больше. 

Упражнения из группы В

Задача 13.

На чемпионате команды встречались со всеми другими командами по одному разу. Сколько было команд, если они провели 78 встреч?

Задача 14.

Найдите меньшее из двух чисел, сумма которых равна 22, а сумма их квадратов – 250.

Задача 15.

Найдите большее из двух чисел, если их разность равна 4, а разность квадратов – 104.

Задача 16.

Среднее арифметическое двух чисел равно 7, а разность квадратов – 56. Найдите сумму квадратов этих чисел.

Задача 17.

Среднее арифметическое двух чисел равно 6, а квадрат суммы этих чисел на 70 больше суммы их квадратов. Найдите эти числа.

Задача 18.

Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 157. Найдите эти числа.

Задача 19.

Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 612. Найдите эти числа

Задача 20.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен а второй катет на 2 см меньше гипотенузы. Найдите второй катет и гипотенузу данного треугольника.

Задача 21.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна а разность катетов – 3 см. Найдите катеты и периметр прямоугольного треугольника.

Задача 22.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен а периметр – Найдите второй катет и гипотенузу данного треугольника.

Задача 23.

Токарь должен был обработать 180 деталей к определенному сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать на 30  деталей в день больше и поэтому закончил работу на один день раньше срока. Сколько деталей он должен был обрабатывать по плану за день?

Задача 24.

Мастер и ученик должны были выполнить работу к определенному сроку. Однако, когда была выполнена половина работы, ученик заболел, и мастер, оставшись один, закончил работу с опозданием на 2 дня. За сколько дней мог бы выполнить всю работу каждый из них, работая по одному, если мастеру на это потребовалось бы на 5 дней меньше, чем ученику?

Задача 25.

Пешеход прошел расстояние АВ за 3 ч. Возвращясь он первые 16 км шел с той же скоростью, а затем понизил на 1 км/ч, и таким образом затратил на обратный путь на 4 мин больше, чем на путь из А в В. Найдите расстояние между А и В.

Задача 26.

Моторная лодка прошла 58 км по течению реки и 42 км против течения за то же время, что она проходит 100 км в стоячей воде. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Задача 27.

Турист проплыл на байдарке 10 км против течения реки и 18 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть по озеру 28 км. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите собственную скорость байдарки.

Задача 28.

Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше числителя. Если к числителю прибавить 8, а к знаменателю – 2, то данная дробь увеличивается на Найдите исходную дробь.

Задача 29.

Числитель обыкновенной дроби на 7 меньше знаменателя. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю – 3, то данная дробь увеличивается на Найдите первоначальную дробь. 

Задача 30. Задача Бхаскары

(Бхаскара Агарья (1114 – 1185 г. г.) индийский математик и астроном)

Обезьянок резвых стая, власть поевши, развлекалась.